Поделиться Поделиться

Частные случаи решения линейных уравнений

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.

Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 1 имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 2 , если Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 3 то Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 4 . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 5 было делителем числа 5, то есть Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 5 может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда, а = 3; 1; 7;-3.

Ответ: при а = -3; 1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра n уравнение Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 7

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 8 имеют смысл при любых значениях n/

2. Если Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 9 , то Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 10 . При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 11 значение выражения Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 12 равно 0. Получаем уравнение вида Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 13 . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 14 значение выражения Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 12 равно – 12, получается уравнение Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 16 , которое не имеет корней.

3. При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 17 и Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 18 уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 17 и Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 18 .

б) При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 11 . в) При Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 14 .

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение не имеет корней Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 23 .

Перепишем данное уравнение в виде Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 24 Если а = 2, то уравнение не имеет корней. Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I: Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 25 , или равенство Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 26 .

Равенство справедливо при а = 0 или при а =1.

Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения .

Способ II. Перепишем исходное уравнение в виде Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 27

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 28 . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7: Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 29 то есть при а = 0.

Ответ: а = 0.

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 30 и Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 31 имеют общий корень.

Решение: Перепишем первое уравнение в виде Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 32 . Это уравнение имеет корень лишь при Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 33 . Этот корень есть число Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 34 .

Перепишем второе уравнение в виде Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 35 . Данное уравнение имеет корень лишь при Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 36 ,. Этот корень есть число Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 37

Осталось найти все значения параметра Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 36 . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х1 и х2 есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 39

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 40 которое имеет единственный корень Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 41 . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при Частные случаи решения линейных уравнений - Инвестирование - 41

Заключение.

Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу. Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 8 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

Литература

1. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Пособие по математике. 3-е изд., доработ. - Минск: Асар, 2004.

2. Смыкалова Е.В. Математика. Модули, параметры, многочлены. Предпрофильная подготовка.-Сант-Петербург: СМИО Пресс,2006

3. В.В.Локоть. Задачи с параметрами . Учебное пособие.-Москва:Аркти,2003.

← Предыдущая страница | Следующая страница →