Поделиться Поделиться

Числовая последовательность. Предел последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число, то задается числовая последовательность Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 1 :

х1, х2, х3, …, хn, … (1)

Числовая последовательность (1) – это функция натурального аргумента.

Способы задания последовательностей:

1.Формулой n–го члена xn=f(n).

2. Рекуррентная форма задания позволяет находить члены последовательности через предыдущие элементы. Например, если {an} – арифметическая прогрессия с разностью d, то an=an–1+d=a1+d(n–1); для геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q имеем bn=bn–1*q=b1*qn–1.

3. Последовательность можно задать описанием её членов. Например, xn – простое число с номером n.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для каждого e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство½xn–a½< e:

Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 2 . (2)

При n>N имеем ½xn–a½< e Û –e<xn–a<e Û a–e<xn<a+e. число а – предел последовательности (1), если в произвольной e-окрестности точки а находятся все члены последовательности с номерами n>N.

Последовательность {xn} – сходящаяся, если она имеет конечный предел а. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то {xn} – расходящаяся последовательность, т.е. Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 3 : Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 4 .

Теорема 1 (Ограниченность сходящейся последовательности). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

gПусть Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 5 , тогда ("e>0)($k): ("n>k )® Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 6 >e.

Из неравенства e >½xn-a½³½xn½-½a½ имеем½xn½<½a½+e ("n>k). Если обозначить М=mах{½x1½, ½x2½,¼, ½xk½,½a½+e}, то "nÎN ½xn½£M, т.е. {xn} – ограничена.n

Теорема 2. Если Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 7 , (3) и а < b, (4)

то ($n0ÎN): ("n>n0xn<yn.

gПусть U=U(a), V=V(b) – какие-либо не пересекающие окрестности точек a, b. Из неравенства (4) следует, что

("xÎU) ("yÎV) ®x<y. (5)

Согласно условию (3): ($n0ÎN):("n>n0) ®(xnÎU Ù ynÎV). Учитывая (5), получаем требуемое: xn<yn.n

Теорема 3(Переход к пределу в неравенствах). Если Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 8 , (6) то Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 9 . (7)

Теорема 4(О пределе промежуточной последовательности). Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что

"n>N0 xn £ yn £ zn, (8)

и Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 10 , то предел промежуточной последовательности также равен а: Числовая последовательность. Предел последовательности - Инвестирование - 11 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →