Поделиться Поделиться

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников

Матрицы параметров сложных четырехполюсников (последовательное, параллельное и каскадное соединения).

Тема № 2. Пассивные LC-фильтры

2.1. Теория фильтрующих четырехполюсников: классификация, расчет передаточных и входных функций нагруженных и ненагруженных пассивных фильтров типа К и m.

Электрический фильтр представляет собой 4-полюсник пропускающий без затухания(или с малыми затуханиями) сигнала, частоты которых лежат заданной полосе (полосе пропускания), и задерживающий или пропускающий с большим затуханием сигналы с частотами вне этой полосы (полосы задержки).

Граничную частоту между полосой пропускания и полосой задержки называют частотой среза Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 1 . Различают фильтры: нижних частот с полосой пропускания Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 2 , полосовой фильтр пропускающий частоты в полосе Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 3 , заграждающий фильтр с полосой задержки Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 4 .

Наиболее простым получается расчет типовых звеньев Т- и П образного вида:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 5

Расчёт А- параметров этих 4-полюсников уже производился.

В случае фильтров типа К продольная и поперечная ветви являются дуальными и произведение их сопротивлений Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 6 является положительной вещественной константой.

Пусть каждое такое звено нагружено на его характеристическое сопротивление. Известно:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 7

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 8

Для реактивных 4-полюсников:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 9

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 10

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 11

Т.е. являются величинами противоположного знака.

Т.е. если знаки Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 12 совпадают то cthγ имеет вещественное значение, а Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 13 - мнимое.

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 14

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 15

Заметим, что Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 16

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 17

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 18

Рассмотрим два возможных случая:

1. Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 19 имеют одинаковые знаки

cthγ- мнимый, следовательно:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 20

thα=0 >> α=0 при β≠0

т.е. получили полосу пропускания, где затухание α=0 и происходит лишь сдвиг сигналов по фазе:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 21

В полосе пропускания характеристическое сопротивление вещественно.

2. Знаки Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 22 различны

cthγ имеет вещественное значение:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 23

tgβ=0; β=0,π,2π……;

thα≠0, α>0

Т.к. α>0, имеем полосу задержки в которой происходит затухание сигнала:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 24

Фазовый сдвиг здесь не меняется Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 13 имеет чисто мнимое значение(реактивное).

Расчет звена типа К состоит в том, что для заданных структур звеньев из реактивных элементов составляются выражения для Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 26 и определяются их нули и полюсы.

Граничная частота полосы пропускания(частота среза) равняется тому полюсу, при котором происходит переход от совпадения к несовпадению знаков Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 22 .

Пример:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 28 Расчёт Т-образного фильтра нижних частот

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 29

Проводимость короткого замыкания:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 30

На рисунке показаны графики функций Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 31 :

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 32 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 33

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 34

Частота среза равна полюсу-резонансной частоте контура, получающегося при коротком замыкании входа и выхода:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 35

При Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 36 знаки Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 37 совпадают α=0-полоса пропускания.

При Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 38 знаки Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 37 различны, полоса задержки α>0.

Примерные графики затухания и фазы:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 40 α,β π β

α

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 1 ω

Напряжение на выходе отсекает от напряжения на входе, причем в полосе задержки- на π, напряжение на емкости сдвинуто на π относительно U1–вход.

Если соединить каскадно nзвеньев то в nраз увеличится затухание в полосе задержки и фазовый угол:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 42

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 43 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 44

1

s=jω

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 45 ω

Нагрузка фильтров обычно бывает активной, а Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 46 -реактивное, т.е.согласование фильтра с нагрузкой в полосе частот выполнить не удается. Другим существенным недостатком фильтров типа Кявляется малая крутизна нарастания затухания при переходе из полосы пропускания в полосу задержки.

Эти недостатки можно уменьшить если применить производные звенья типа m . Видоизменение состоит в замене поперечной емкости исходной схемы типа К (прототипа) последовательным резонансным контуром или продольной индуктивности прототипа параллельным контуром.

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 47 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 48 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 48

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 50

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 51

При m=1 – последовательное произвольное звено фильтра типа mпереходит в звено прототипа К - типа.

Частота среза и характеристическое сопротивление звена m - типа и звена прототипа К - типа одинаковы.(эта частота соответствует резонансной частоте контура при коротком замыкании входа и выхода)

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 52

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 53

Поэтому звенья типа mмогут каскадно соединяться со звеньями типа К.

Т-образное симметричное звено разобьём на два каскадно соединённых навстречу друг другу одинаковых Г-образных 4-полюсника.

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 54 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 48

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 56

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 57

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 58

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 59

где для П-образной схемы(расчет раньше) положить Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 60 и учесть:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 61

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 62 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 63

α Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 64

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 65

m=0 m=1

m=0.6

m=1 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 66

0 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 45 ω 0 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 45 ω

Значение m≈0,6 является оптимальным, т.к. обеспечивает наибольшую равномерность Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 65 (постоянство) в полосе пропускания. Это улучшает согласование фильтра с нагрузкой в полосе пропускания.

Наличие в поперечной ветви последовательного контура с резонансной частотой, превышающей частоту среза Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 70 даёт полюс затухания(бесконечное затухание).Это приводит к увеличению крутизны затухания вблизи границы полосы задержки. Чем меньше m, тем ближе Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 71 .

В полосе задержки затухание фильтра типа mизменяется немонотонно, в отличие от фильтра типа К,что является недостатком фильтров типа m (не везде достаточное затухание).Для устранения недостатков(частичного) тех и других фильтров, m и К фильтры соединяют каскадно:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 72

2.2 Фильтры верхних частот. Полосовые фильтры.

Фильтры других видов могут быть рассчитаны аналогично приведённому выше расчету фильтров нижних частот. Но они могут быть получены также путём пересчета данных исходного фильтра нижних частот с помощью преобразования частоты.

Например, для сведения фильтра нижних частот(прототипа) к искомому фильтру верхних частот используют преобразования:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 73

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 74

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 75

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 76

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 77

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 78

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 79 ω

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 1

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 81

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 82 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 83

Схему цепи и значения элементов получим путём замены индуктивного элемента ёмкостным,

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 84

а ёмкостного элемента- индуктивным.

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 85

Получается схема звена ВЧ:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 86 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 87 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 87

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 89

Для получения частотной характеристики полосового фильтра используют преобразования:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 90

При Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 91 и Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 92

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 93

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 94

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 3 полоса пропускания полосового фильтра.

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 96 => Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 97

Определим значения элементов и схему полосового фильтра

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 98

то есть индуктивный элемент преобразуется в последовательный колебательный контур.

Преобразование емкостного элемента:

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 99

Дает параллельный колебательный контур.

Для получения заградительного фильтра применим обратное преобразование к (*).

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 100 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 87 Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 87

Эквивалентные схемы линейных четырехполюсников - Инвестирование - 89