Поделиться Поделиться

Экстремум функции. Возрастание и убывание функции

Пусть функция Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 1 определена в некоторой окрестности точки Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 3 , и непрерывна в точке Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 .

Пусть Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 3 , в которой при Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 8 выполняется неравенство Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 9 Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 10 .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие точки экстремума:

В точках экстремума производная Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 11 или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 1 непрерывна в некоторой окрестности точки Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 .

а) Если Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 14 при Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 15 и Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 16 при Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 17 (т.е. при переходе через точку Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 производная меняет

знак “+” на “–“), то точка Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 является точкой максимума.

б) Если Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 16 при Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 15 и Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 14 при Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 17 (т.е. при переходе через точку Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 производная меняет знак “–” на “+“), то точка Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 является точкой минимума.

Пусть в критической точке Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 функция f(x) имеет вторую производную Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 27 (значит, Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 28 ). Если при этом Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 29 , то Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 – точка максимума; если же Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 31 то Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 2 – точка минимума; если же Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 33 , то вопрос о наличии экстремума в этой точке остается открытым.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любых Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 34 и x Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 35 на этом отрезке Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 36 , когда x Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 37 < x Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 35 .

Аналогично определяется убывание функции на отрезке.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x):

если Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 39 , то функция возрастает;

если Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 40 , то функция убывает.

Чтобы найти экстремум функции нужно:

Найти Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 41 и критические точки, в которых Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 42 или не существует.

Определить знак Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 43 слева и справа от каждой критической точки.

Далее можно найти Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 44 и Экстремум функции. Возрастание и убывание функции - Инвестирование - 45 и построить кривую.

← Предыдущая страница | Следующая страница →