Поделиться Поделиться

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі

Электромагниттік индукцияның э.қ.к.-ін түсіндіру үшін Максвелл кез-келген айнымалы магнит өрісі өзінің айналасында құйынды электр өрісін туғызады деген гипотезаны ұсынды. Сонда индукциялық токтың пайда болуына себепкер сол құйынды электр өрісі болып табылады, ал оның кернеулік векторының циркуляциясы мынаған тең:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 1 .

Егер бетпен контурдың орындары өзгермесе, онда дифференциалау және интегралдау операцияларының ретін өзгертуге болады

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 2

Максвелл пікіріне сәйкес, егер кез-келген айнымалы магнит өрісі өзін қоршаған кеңістікте құйынды электр өрісін қоздыратын болса, онда осыған кері құбылыста болуға тиіс, яғни: электр өрісінің кез-келген өзгерісі қоршаған кеңістікте құйынд магнит өрісінің пайда болуына әкеледі. Өзгеріп отыратын электр өрісі және ол қоздырған магнит өрісінің арасындағы сандық ара қатысты анықтау үшін Максвелл ығысу тогыұғымын еңгізді. Ығысу тогының тығыздығы

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 3 Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 4

Өткізгіштік тогының өзіне

тән барлық физикалық қасиеттердің ішінен ығысу тогы тек біреуін, атап

30.1-сурет айтқанда, қоршаған кеңістікте магнитөрісін тудыру қабілеттілігін, иеленеді. Толық ток өткізгіштік тогымен ығысу тогының қосындысына тең. Толық ток тығыздығы

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 5 .

Сонда Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 6 векторының циркуляциясы жайлы жалпы теореманы мына түрде жазуға болады

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 7 .

Интегралды түрдегі Максвелл теңдеулерінің толық жүйесі :

1. Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 8 ;

2. Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 7 ;

3. Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 10

4. Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 11 .

Қозғалыссыз тұрған контурдан өтетін магнитағыны өзгергенде, контурдан индукцияланған ток ағады. Контурдағы зарядтар қозғалысын тосын күштер туғызады. Яғни, индукцияланған ток контурда пйда боған электр өрісінен болады. Осы өріс кернеулігін ЕВ деп белгілейік. Контурда пайда болатын индукциясының э.қ.к.-і контур бойынша ЕВ векторының циркуляциясына тең:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 12

Электромагниттік индукция заңын қолданып бұл теңдеуді былай жазуға болады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 13

Электростатикалық өрістің Еq кернеулігінің кезкелген тұйық контур бойынша циркуляциясы нолге тең болатын. Бұл өріс потенциалды болатын.


Ал ЕВ векторының циркуляциясы нолге тең емес. Демек, ЕВ векторының өрісі мағнит өрісі сияқты құйынды болады екен. Жалпы жағдайда электр өрісі электростатикалық Еq өрісімен, магнит өрісінің өзгерісінен болатын, қ ұйынды электр өрісі ЕВ –нің қосындысынан тұрады, яғни Е = ЕВ + Еq. Қосынды өріс кернеулігі үшін мына өрнекті аламыз:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 14

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 15 Өзгеретін электр және пайда болатын магнит өрістері арасындағы сандық қатысты орнатуда Максвелл ығысу тогы деп аталатынды енгізді. Максвелл электр тогы барлық уақытта тұйықталған болу керек деп пайымдады. Сонда, толық ток тығыздығы өткізгіш және ығысу тогы тығыздықтарының қосындысына тең болады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 16

Ығысу тогы ығысу векторының өзгеру жылдамдығымен анықталады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 17

Магнит өрісінің кернеулік векторының циркуляциясы толық ток тығыздығымен анықталады. Ығысу тогы Максвеллге электр және магнит өрістерінің біртұтас теориясын жасауға мүмкіндік берді. Максвелл электромагниттік өрісті сипаттайтын төмендегі теңдеулер жүйесін тағайындады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 18

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 19

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 20

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 21

Ортаны сипаттау үшін Максвелл тағы үш теңдеу жазды, оларды материалдық теңдеулер деп атайды:

j = γE; D = ε0εE; B = μ0μH

Зарядтар қозғалысын сипаттау үшін бұл теңдеулері Лоренц күшін сипаттайтын теңдеумен толықтыру керек:

F = eE + e[v B].

Электр және магнит өрістері үшін шекаралық шарттар төмендегіше жазылады:

Dn1 = Dn2; Dt1 : Dt2 = ε1: ε2; En1: En2 = ε2: ε1; Et1 = Et2 ;

Bn1 = Bn2; Hn1: Hn2 = μ2: μ1; Bt1: Bt2 = μ1: μ2; Ht1= Ht2

Магнит және электр өрісінің салыстырмалылығы. Максвелл теңдеулерінің маңызы.


Максвелл теңдеулерінен мынадай салдарлар шығады:

1) егер берілген көлемді қоршаған бет арқылы зарядтар кетпейтін болса, онда бұл көлемдегі зарядтардың алгебралық қосындысы сақталады;

2) егер еркін және байланысқан зарядтар жоқ болса, онда (вакуумде) зарядтар мен өткізгіш токтардан тәуелсіз құйынды электромагниттік өріс өмір сүреді;

3) егер барлық өрістер тұрақты болса, онда бұрын қарастырған электротатика мен тұрақты токтың магнит өрісін сипаттайтын заңдарды аламыз;

4) бұл жерде ρ = 0 және j = 0 деп жорамалдасақ, өрісті сипаттайтын барлық шамалар нолге тең болып шығады, яғни тұрақты өрістер заряд және токсыз өмір сүре алмайды.

Максвелл теңдеулерінің маңызды қасиеттерінің бірі, олар Лоренц түрлендірулерінде өз түрін сақтайды. Бірақ электромагниттік өрісті сипаттайтын векторлардың құраушылары өзгеруі мүмкін. Электр және магнит өрістері бір санақжүйесіндебар болса, екінші бір санақ жүйесінде болмауымүмкін. Зарядтың қозғалысы, яғни токтың пайда болуы, санақ жүйесіне тәуелді болады.

Максвелл теңдеулері тәжірибе нәтижелерін жинақтау арқылы алынған. Электротехника мен электрониканың негізінде Максвелл теңдеулері жатады. Бұл теңдеулер классикалық оптиканың фундаментальді теңдеулері болып табылады. Максвелл теңдеулрінен электромагниттік толқындардың бар екндігі және олардың жылдамдығының шектеулі болатындығы шығады. Барлық физикалық теориялар сияқты Максвелл теориясының қолдану шегі бар. Ол мына жағдайларда қолданылады:

а) зарядтар ара қашықтығы R > 10-10м. болу керек;

ә) өрістің өзгеру жылдамдығы 1013–1014 Гц-тен аз болу керек;

б) Зарядтар, еркін жүру ара қашықтығында, жылулық қозғалыс жылдамдығынан аз жылдамдық алатын электр өрістері үшін.

Электромагниттік толқындардың– кеңістікте шектелген жылдамдықпен таралатын айнымалы электромагниттік өрістің - бар болуы Максвелл теңдеулерінің салдары. Электромагниттік өрісті тудыратын зарядтар мен токтардан алыс жатқан біртекті және изотропты ортадағы айнымалы электромагниттік өрістің Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 22 және Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 23 кернеулік векторлары толқындық теңдеуге бағынады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 24 , Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 25 ,

мұндағы Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 26 - Лаплас операторы, Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 27 -толқынның фазалық жылдамдығы. Электромагниттік толқындардың фазалық жылдамдығымына өрнектің көмегімен анықталады

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 28 ,

мұндағы Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 29 - электромагниттік толқынның вакуумдегі жылдамдығы.

Электромагниттік толқын көлденең : электр және магнит өрістерінің Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 22 және Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 23 кернеулік векторлары өзара перпендикуляр бола отырып толқынның таралу жылдамдығының Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 32 векторына перпендикуляр орналасқан жазықтықта жатады, және де Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 22 , Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 23 және Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 35 векторлары оң бұрандалы жүйені құрайды.

Тәжірибе жүзінде алғаш рет электромагниттік толқындарды неміс физигі Г. Герц ашық тербелмелі контурдыңкөмегімен алды. Герц тәжірибелері электромагниттік толқындардың қозу және таралу заңдары Максвелл теңдеулерімен толық сипатталатынын көрсетті.

Электромагниттік толқын энергиясының Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 36 көлемдік тығыздығы электр және магнит өрістерінің Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 37 және Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 38 көлемдік тығыздықтарының қосындысы болып табылады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 39 .

Уақыттың кез келген мезеті үшін электр және магнит өрістерінің тығыздықтары өзара тең, яғни Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 37 = Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 38 . Сондықтан

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 42 .

Энергияның Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 36 тығыздығын толқынның ортадағы Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 44 таралу жылдамдығына көбейте отырып, энергия ағынының тығыздық модулін табуға болады:

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 45 . Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 22 , Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 23 және Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 35 векторларының бағыттарын ескерсек, электромагниттік энергия ағынының тығыздық векторын (Умов-Пойнтинг векторы ) мына түрде жазуға болады

Электромагниттік өріске арналған Максвелл теңдеулерінің жүйесі - Инвестирование - 49 .