Поделиться Поделиться

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач)

(Примеры решения задач)

Энергия взаимодействия зарядов

Пример 1.

Определите электрическую энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a (см. рис.2).

Решение.

На рис.3 условно изображены двунаправленными стрелками все парные взаимодействия зарядов. Учитывая энергии всех этих взаимодействий, получим:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 1 .

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 2 Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 3 Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 4
Рис.2 Рис.3 Рис.4

Пример 2.

Определите электрическую энергию взаимодействия заряженного кольца с диполем, расположенным на его оси, как показано на рис.4. Известны расстояния a, l, заряды Q, q и радиус кольца R.

Решение.

При решении задачи следует учесть все энергии парных взаимодействий зарядов одного тела (кольца) с зарядами другого тела (диполя). Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядом Q, распределенным по кольцу, определяется суммой

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 5 ,

где Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 6 - заряд бесконечно малого фрагмента кольца, Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 7 - расстояние от этого фрагмента до заряда q. Поскольку все Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 7 одинаковы и равны Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 9 , то

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 10 .

Аналогично найдем энергию взаимодействия точечного заряда –q с заряженным кольцом:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 11 .

Суммируя W1 и W2, получим для энергии взаимодействия кольца с диполем:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 12 .

Электрическая энергия заряженных проводников

Пример 3.

Определите работу электрических сил при уменьшении в 2 раза радиуса однородно заряженной сферы. Заряд сферы q, ее первоначальный радиус R.

Решение.

Электрическая энергия уединенного проводника определяется формулой Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 13 , где q – заряд проводника, j - его потенциал. Учитывая, что потенциал однородно заряженной сферы радиуса R равен Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 14 , найдем ее электрическую энергию:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 15 .

После уменьшения в два раза радиуса сферы ее энергия становится равной

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 16 .

Электрические силы при этом совершают работу

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 17 .

Пример 4.

Два металлических шара, радиусы которых r и 2r, а соответствующие заряды 2q и –q, расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Во сколько раз уменьшится электрическая энергия системы, если шары соединить тонкой проволокой?

Решение.

После соединения шаров тонкой проволокой их потенциалы становятся одинаковыми

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 18 ,

а установившиеся заряды шаров Q1 и Q2 получаются в результате перетекания заряда с одного шара на другой. При этом суммарный заряд шаров остается постоянным:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 19 .

Из этих уравнений найдем

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 20 , Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 21 .

Энергия шаров до соединения их проволокой равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 22 ,

а после соединения

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 23 .

Подставляя в последнее выражение значения Q1 и Q2, получим после простых преобразований

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 24 .

Пример 5.

В один шар слились N = 8 одинаковых шариков ртути, заряд каждого из которых q. Считая, что в начальном состоянии ртутные шарики находились на большом расстоянии друг от друга, определите, во сколько раз увеличилась электрическая энергия системы.

Решение.

При слиянии ртутных шариков сохраняется их суммарный заряд и объем:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 25 ,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 26 ,

где Q – заряд шара, R – его радиус, r – радиус каждого маленького ртутного шарика. Суммарная электрическая энергия N уединенных шариков равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 27 .

Электрическая энергия полученного в результате слияния шара

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 28 .

После алгебраических преобразований получим

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 29 = 4.

Пример 6.

Металлический шарик радиуса R = 1 мм и заряда q = 0,1 нКлс большого расстояния медленно приближают к незаряженному проводнику и останавливают, когда потенциал шарика становится равным j = 450 В. Какую работу для этого следует совершить?

Решение.

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 30 ,

где q1 и q2 – заряды проводников, j1 и j2 – их потенциалы. Так как проводник по условию задачи не заряжен, то

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 31 ,

где q1 и j1 заряд и потенциал шара. Когда шар и незаряженный проводник находятся на большом расстоянии друг от друга,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 32 ,

и электрическая энергия системы

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 33 .

В конечном состоянии системы, когда потенциал шара стал равным j, электрическая энергия системы:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 34 .

Работа внешних сил равна приращению электрической энергии:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 35 = –0,0225 мкДж .

Заметим, что электрическое поле в конечном состоянии системы создается зарядами, индуцированными на проводнике, а также зарядами, неоднородно распределенными по поверхности металлического шара. Рассчитать это поле при известной геометрии проводника и заданном положении металлического шара весьма непросто. Нам не потребовалось этого делать, поскольку в задаче задана не геометрическая конфигурация системы, а потенциал шара в конечном состоянии.

Пример 7.

Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R1 и R2 ( Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 36 и соответствующими зарядами q1 и q2. Найдите электрическую энергию W системы. Рассмотрите также специальный случай, когда Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 37 .

Решение.

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 38 .

Для решения задачи необходимо найти потенциалы внутренней (j1) и внешней (j2) сфер. Это нетрудно сделать (см. соответствующий раздел пособия):

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 39 , Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 40 .

Подставляя эти выражения в формулу для энергии, получим

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 41 .

При Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 37 энергия равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 43 .

Собственная электрическая энергия и энергия взаимодействия

Пример 8.

Две проводящие сферы, заряды которых q и –q, радиусы R1 и R2, расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Сфера большего радиуса R2 состоит из двух полусфер. Полусферы разъединяют, подносят их к сфере радиуса R1, и вновь соединяют, образуя таким образом сферический конденсатор. Определите работу электрических сил при таком составлении конденсатора.

Решение.

Электрическая энергия двух удаленных друг от друга заряженных сфер равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 44 .

Электрическая энергия полученного сферического конденсатора:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 45 ,

где

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 46

- потенциал внутренней сферы, Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 47 - потенциал внешней сферы. Следовательно,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 48

Работа электрических сил при таком составлении конденсатора:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 49 .

Заметим, что электрическая энергия сферического конденсатора W2 равна работе внешних сил по зарядке конденсатора. При этом электрические силы совершают работу Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 50 . Эта работа совершается не только при сближении заряженных обкладок, но и при нанесении заряда на каждую из обкладок. Поэтому AЭЛ отличается от найденной выше работы A, совершенной электрическими силами только при сближения обкладок.

Пример 9.

Точечный заряд q = 1,5 мкКл расположен в центре сферической оболочки, по поверхности которой однородно распределен заряд Q = 5 мкКл. Найдите работу электрических сил при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от R1 = 50 мм до R2 = 100 мм.

Решение.

Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядами, расположенными на сферической оболочке радиуса R равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 51 ,

Собственная электрическая энергия оболочки (энергия взаимодействия зарядов оболочки между собой) равна:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 28 .

Работа электрических сил при расширении оболочки:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 53 .

После преобразований получим

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 54 1,8 Дж.

Другой способ решения

Точечный заряд представим в виде однородно заряженной сферы малого радиуса r и заряда q. Полная электрическая энергия системы равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 55 ,

где

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 56

- потенциал сферы радиуса r,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 57

- потенциал сферы радиуса R. При расширении внешней сферы электрические силы совершают работу

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 58 .

После подстановок и преобразований получим ответ.

Объемная плотность энергии электрического поля

Пример 10.

Какая часть электрической энергии заряженного проводящего шара, расположенного в вакууме, заключена в пределах концентрической с шаром воображаемой сферы, радиус которой в n раз больше радиуса шара?

Решение.

Объемная плотность энергии электрического поля

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 59

определяет электрическую энергию Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 60 , локализованную в бесконечно малом объеме Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 61 (E – модуль вектора напряженности электрического поля в этом объеме, e - диэлектрическая проницаемость). Чтобы вычислить полную электрическую энергию заряженного проводящего шара, мысленно разобьем все пространство на бесконечно тонкие шаровые слои, концентрические с заряженным шаром. Рассмотрим один из таких слоев радиуса r и толщины dr (см. рис.5). Его объем равен

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 62 ,

а сосредоточенная в слое электрическая энергия

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 63 .

Напряженность E поля заряженного проводящего шара зависит, как известно, от расстояния r до центра шара. Внутри шара Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 64 , поэтому при вычислении энергии достаточно рассматривать только те шаровые слои, радиус r которых превышает радиус шара R.

При Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 65 напряженность поля

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 66 ,

диэлектрическая проницаемость Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 67 и, следовательно

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 68 ,

где q – заряд шара.

Полная электрическая энергия заряженного шара, определяется интегралом

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 69 ,

а энергия, сосредоточенная внутри воображаемой сферы радиуса nR, равна

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 70 .

Следовательно,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 71 .

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 72 Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 73 Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 74
Рис.5 Рис.6 Рис.7

Пример 11.

Определите электрическую энергию системы, состоящей из заряженного проводящего шара и концентрического с ним незаряженного проводящего шарового слоя (рис.6). Внутренний и внешний радиусы слоя a и b, радиус шара Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 75 , заряд q, система находится в вакууме.

Решение.

На внутренней и внешней поверхностях шарового слоя распределены индуцированные заряды. Их алгебраическая сумма равна нулю, поэтому индуцированные заряды не создают электрического поля при Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 76 , где r – расстояние от центра системы. В области Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 77 напряженность поля индуцированных зарядов также равна нулю, поскольку они однородно распределены по сферическим поверхностям. Таким образом, электрическое поле системы совпадает с полем однородно заряженной по поверхности сферы, за исключением внутренней области шарового слоя, где E = 0. На рис.7 приведен примерный график зависимости Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 78 . Опуская подробные выкладки (см. пример 10), запишем для электрической энергии системы:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 79 ,

где Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 80 , Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 81 , Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 82 . После интегрирования получим

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 83 .

Пример 12.

Первоначально заряд q распределен однородно по объему шара радиуса R. Затем вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу совершают при этом электрические силы? Диэлектрическую проницаемость считайте равной единице.

Решение.

Работа электрических сил равна убыли электрической энергии:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 84 ,

где W1 – электрическая энергия однородно заряженного по объему шара, W2 – энергия того же шара, однородно заряженного по поверхности. Поскольку суммарный заряд в обоих случаях одинаков, то электрическое поле вне шара при переходе заряда из объема на поверхность не изменяется. Электрическое поле и энергия изменяются только внутри шара.

При помощи теоремы Гаусса можно вывести формулу для напряженности поля внутри однородно заряженного шара на расстоянии r от его центра:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 85 .

Электрическая энергия, сосредоточенная внутри шара, определяется интегралом:

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 86 .

Когда все заряды перешли на поверхность шара, электрическое поле, а следовательно, и энергия электрического поля внутри шара стали равными нулю. Таким образом,

Энергия электрического поля. (Примеры решения задач) - Инвестирование - 87 .

← Предыдущая страница | Следующая страница →