Поделиться Поделиться

Эргодические теоремы для цепей Маркова

Теорема (основная эргодическая теорема). Рассмотрим неразложимую, непериодическую, возвратную цепь Маркова со счётным числом состояний, тогда имеет место равенство

Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 1

При этих же условиях Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 2 .

Теорема.Для неразложимой, непериодической, возвратной и положительной цепи Маркова со счётным числом состояний существуют пределы Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 3 , где Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 4 и однозначно определяются условиями:

1. Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 5 –уравнение Колмогорова для финальных вероятностей,

2. Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 6 –условием нормировки для финальных вероятностей.

Распределение вероятностей Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 7 называется финальнымили эргодическим, а цепь Маркова называется эргодической .

Теорема(альтернативы). Пусть для марковской цепи со счётным числом состояний существуют пределы Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 8 , при этом выполняется равенство Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 5 , тогда возможна одна из двух альтернатив: все Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 10 или Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 6 .

Если Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 6 , то набор вероятностей Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 7 образует единственное стационарное распределение вероятностей состояний цепи Маркова.

Если Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 10 , то не существует стационарного распределения для рассматриваемой цепи Маркова.

Теорема(эргодическая теорема для цепей Маркова с конечным числом состояний). Для неразложимой непериодической цепи Маркова с конечным числом состояний существуют пределы

Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 8 ,

не зависящие от Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 16 и удовлетворяющие условию нормировки.

Таким образом, если цепь Маркова неразложимая, непериодическая, возвратная и положительная,то для неё существует стационарное (финальное) распределение вероятностей.

Если для однородной цепи Маркова существуют финальные вероятности, то говорят, что для этой цепи существует стационарный режим функционирования.

ПРимер. Найти финальные вероятности для цепи Маркова заданнойграфом

Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 17

Данная цепь Маркова является неразложимой и апериодической, так как Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 18 . Кроме того, она имеет конечное число состояний, поэтому является эргодической.

Матрица вероятностей переходов Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 19 .

Составим систему уравнений для нахождения финальных вероятностей:

Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 20 ,

откуда находим Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 21 , Эргодические теоремы для цепей Маркова - Инвестирование - 22 .