Поделиться Поделиться

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ.

Дьяченко Н.К.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ.

ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ.

Навчальний посібник

Дніпропетровськ


Дьяченко Н.К.

Аналітична геометрія на площині та у просторі. Елементи векторної алгебри :

Навчальний посібник/ Дніпропетровський державний аграрний університет – Дніпропетровськ, 2009 – 78 с.

У навчальному посібнику розглянуто основні поняття і положення аналітичної геометрії на площині та у просторі, а також елементи векторної алгебри.

Розібрано типові задачі, а також наведені завдання для самостійного розв’язування.

Посібник буде корисним для студентів заочної форми навчання економічних спеціальностей, а також для студентів очної форми навчання при підготовці до модульної роботи з аналітичної геометрії.

РОЗДІЛ 1.

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ НА ПЛОЩИНІ

Нехай задано точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 1 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 2 . Визначимо відстань між ними.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 3

З АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 4 маємо:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 5 .

Отже, відстань між двома точками на площині

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 6

Відстань точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 7 від початку координат знаходимо за формулою АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 8 .

ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ

Дано точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 9 та АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 10 .

Вимагається знайти координати точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 11 , яка ділить відрізок АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 12 у відношенні АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 13 , тобто

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 14 .

Координати точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 11 можна визначити за формулами:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 16 .

Зауваження. Координати середини відрізка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 17 знаходимо за формулами

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 18 .

ПОНЯТТЯ РІВНЯННЯ ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ

Нехай на площині задано декартову прямокутну систему координат АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 19 і деяку лінію АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 20 .

Означення . Рівняння АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 21 називають рівнянням лінії(відносно заданої системи координат), якщо рівняння задовольняється координатами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 22 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 23 будь-якої точки, яка лежить на лінії і не задовольняється координатами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 22 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 23 жодної точки, що не лежить на лінії АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 20 .

РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Означення . Кутом нахилупрямої до осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 називається кут між прямою та віссю АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 , який відраховується проти годинникової стрілки від додатного напряму осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 до прямої.

Означення . Кутовим коефіцієнтом прямоїназивається тангенс кута нахилу цієї прямої до осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 , тобто АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 31 .

 
  АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 32


 
 
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 33


Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 34 (1)

Числовий параметр АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 35 називають початковою ординатою. Параметр АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 35 дорівнює ординаті точки перетину прямої з віссю АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

Розглянемо деякі частинні випадки.

1) Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 38 , то рівняння (1) має вигляд АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 39 – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

2) Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 40 , то рівняння (1) має вигляд АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 41 – рівняння прямої, паралельної осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

3) Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 43 , то рівняння (1) має вигляд АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 44 – рівняння осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

Загальне рівняння прямої.

Т е о р е м а.Кожне рівняння першого ступеня відносно х і у, тобто рівняння виду АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 46 , визначає на площині пряму лінію.

Рівняння

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 47 (2)

називають загальнимрівнянням прямої.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 48 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 49 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 11 – числові параметри, причому АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 51 .

Частинні випадки.

1) АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 52 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 53 . Рівняння (2)тоді матимемо вид АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 54 – рівняння прямої, що проходить через початок системи координат.

2) АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 55 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 56 . Пряма визначається рівнянням АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 57 , або АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 58 – пряма, яка паралельна осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

3) АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 60 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 61 . В цьому випадку рівняння (2)буде мати вид АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 62 , звідки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 63 – рівняння прямої, паралельної осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 64 .

4) АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 65 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 66 , рівняння (2)має вигляд:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 67 – рівняння осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

5) АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 69 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 70 , рівняння (2)має вигляд:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 71 – рівняння осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 64 .

Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

Нехай задано точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 73 , через яку проходить пряма і кутовий коефіцієнт АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 74 цієї прямої, тоді рівняння

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 75 (3)

називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай задано точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 76 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 77 . Вимагається скласти рівняння прямої, що проходить через ці точки.

Використаємо рівняння (3).Підставимо в це рівняння координати точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 78 .

Маємо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 79 , звідки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 80 – кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через дві задані точки.

Підставимо цей кутовий коефіцієнт в рівняння (3).

Дістанемо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 81 ,

звідки

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 82 (4)

рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

В рівнянні (4)припускаємо, що АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 83 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 84 , інакше, це рівняння не має змісту.

Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 85 , то будемо мати АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 86 – пряма, паралельна осі ординат.

Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 87 , то маємо пряму АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 88 – пряма паралельна осі абсцис.

Рівняння прямої у відрізках на осях.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вид:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 89 (5)

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 90

Параметр АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 91 в цьому рівнянні – абсциса точки перетину прямої з віссю АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 35 ордината точки перетину прямої з віссю АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 64 .

КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ.

ТОЧКА ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПРЯМИХ

Нехай задано дві прямі:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 95 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 96 .

Вимагається знайти координати точки перетину цих прямих.

Оскільки точка перетину прямих лежить як на першій, так і на другій прямій, то координати цієї точки повинні задовольняти кожне з рівнянь прямих.

Отже, для того, щоб знайти координати точки перетину прямих, треба розв’язати сумісно систему рівнянь цих прямих:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 97

Зауваження.

1. Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 98 , то прямі паралельні, точок перетину немає.

2. Якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 99 , то прямі зливаються, і таким чином точок перетину безліч.

Питання для самоперевірки

1. За якою формулою визначається відстань між двома точками на площині?

2. За якими формулами обчислюються координати точки, що ділить заданий відрізок у заданому відношенні?

3. Що називається рівнянням лінії на площині АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 19 ?

4. Який вид має рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

5. Який геометричний зміст параметрів АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 74 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 35 в рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом?

6. Запишіть загальне рівняння прямої. Як знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої?

7. Який вид має рівняння прямої у відрізках на осях? Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки?

8. Як знайти кут між двома прямими?

9. Сформулюйте умову паралельності прямих.

10. Яка умова перпендикулярності прямих?

11. Як знайти точку перетину двох прямих?

12. Як побудувати пряму, задану відповідним рівнянням?

13. Як знайти відстань від точки до прямої?


Задачі до розділу 1

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 103 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 104 і паралельна осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 .

2. Дана пряма АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 106 . Скласти рівняння прямої, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 107 і перпендикулярна до заданої прямої.

3. Знайти кут між прямими АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 108 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 109 .

4. Знайти відстань від точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 110 до прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 111 .

5. Записати рівняння прямої, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 112 паралельно прямій АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 113 .

6. Скласти рівняння прямої, яка відтинає на осі ординат відрізок, величина якого дорівнює АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 114 і утворює з віссю АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 кут АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 116 .

7. Знайти координати точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 117 , яка ділить відрізок АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 118 у відношенні АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 119 , якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 120 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 121 .

8. Знайти точку перетину прямих АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 122 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 123 .

9. Приведіть рівняння прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 124 до вигляду у відрізках на осях. Побудуйте пряму.

10. Знайти відстань від точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 48 до прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 118 , якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 127 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 128 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 129 .

11. Скласти різні види рівняння прямої, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 130 , паралельно прямій АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 131 .

12. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 132 та відтинає на осях координат однакові відрізки.

13. Знайти відстань від середини відрізка, що сполучає точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 133 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 134 до прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 135 .

14. Визначити периметр трикутника з вершинами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 136 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 137 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 138 .

15. Визначити координати середин сторін трикутника з вершинами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 139 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 140 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 141 .

16. Записати рівняння прямої, яка проходить через початок системи координат і нахилена до осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 під кутом АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 143 ? АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 144 ?

17. Серед прямих АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 145 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 146 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 147 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 148 визначити паралельні та перпендикулярні.

18. В точках перетину прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 149 з осями координат проведені перпендикуляри до цієї прямої. Записати їх рівняння.

19. Знайти вершини трикутника, сторони якого задані рівнянням АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 150 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 151 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 152 .

20. Дана пряма АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 153 . Які з точок АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 154 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 155 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 156 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 157 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 158 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 159 лежать на цій прямій?

В задачах 21 – 40 дано координати вершин трикутника АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 160 .

Вимагається знайти:

1) периметр трикутника;

2) рівняння сторін АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 12 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 162 в загальному вигляді та їх кутові коефіцієнти;

3) внутрішній кут АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 48 ;

4) рівняння медіани АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 164 ;

5) рівняння висоти АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 165 та її довжину;

6) рівняння прямої, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 48 паралельно прямій АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 167 ;

7) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 160 .

Зробити рисунок.

21. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 169 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 170 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 171 .

22. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 172 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 173 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 174 .

23. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 175 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 176 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 177 .

24. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 178 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 179 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 180 .

25. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 181 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 182 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 183 .

26. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 184 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 185 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 186 .

27. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 187 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 188 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 189 .

28. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 190 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 191 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 192 .

29. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 193 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 194 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 195 .

30. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 196 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 197 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 198 .

31. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 199 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 200 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 201 .

32. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 202 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 203 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 204 .

33. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 202 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 206 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 207 .

34. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 208 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 209 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 210 .

35. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 211 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 212 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 213 .

36. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 214 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 215 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 216 .

37. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 214 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 218 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 219 .

38. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 220 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 221 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 222 .

39. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 223 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 224 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 225 .

40. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 226 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 227 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 228 .

РОЗДІЛ 2.

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

КОЛО

Означення . Коло– геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається центром кола.

Одержимо рівняння кола з центром в точці АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 229 і радіуса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 230 .

Нехай точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 231 – довільна точка кола.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 232

Визначимо відстань між точками АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 233 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 234 за формулою відстані між двома точками на площині:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 235 , звідси маємо

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 236 (1)

канонічне рівняння кола з центром в точці АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 237 радіуса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 230 .

Коло радіуса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 230 , центр якого знаходиться в початку координат описується рівнянням:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 240 . (2)

Якщо в рівнянні (1)розкрити дужки, то одержимо рівняння кола у вигляді:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 241 . (3)

Як бачимо, для рівняння кола виконуються дві умови:

1) коефіцієнти при АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 242 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 243 рівні;

2) відсутній член з добутком координат х ∙ у .

Приклад 2.

Знайти центр і радіус кола АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 244 .

Розв’язання.

Перетворимо ліву частину рівняння, виділимо для цього повні квадрати по змінним АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 22 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 23 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 247 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 248 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 249 – рівняння кола з центром в точці АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 250 радіуса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 251 .

ЕЛІПС

Означення . Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок (фокусів), є величина стала, дорівнює , більша, ніж відстань між фокусами.

Позначимо відстань між фокусами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 252 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 253 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 254 .

Виберемо систему координат так, щоб фокуси мали координати АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 255 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 256

 
  АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 257


Нехай точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 258 – довільна точка еліпса. За визначенням еліпса маємо:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 259 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 260 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 261 ,

тоді

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 262 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 263 .

Ліву і праву частини останнього рівняння піднесемо до квадрату:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 264 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 265 ,

звідки

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 266 ,

або

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 267 ,

тоді

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 268 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 269 .

Згідно з умовою в означенні еліпса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 270 , отже АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 271 .

Позначимо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 272 . Тоді рівняння перепишеться:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 273 , або АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 274 – канонічне рівняння еліпса.

Еліпс, заданий канонічним рівнянням, симетричний відносно осей координат:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 275 – велика вісь еліпса,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 276 – мала вісь еліпса,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 277 – відстань між фокусами, АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 278 ,

точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 279 – центр еліпса.

Точки перетину еліпса з осями називаються вершинами еліпса .

Отже, еліпс має чотири вершини:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 280 ; АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 281 ; АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 282 ; АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 283 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 284

Означення . Ексцентриситетом еліпсаназивається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 285 .

Оскільки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 286 , то АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 287 .

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: якщо АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 288 , то еліпс сплющується.

Означення . Директрисами еліпсаназивають дві прямі, перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщенні симетрично відносно центра еліпса на відстані АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 289 від нього. Директриси еліпса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 274 мають рівняння АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 291 .

Приклад 3. Побудувати, виписати основні числові характеристики:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 292 .

Розв’язання. Дане рівняння є канонічним рівнянням еліпса.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 293 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 294 – велика піввісь; АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 295 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 296 – мала піввісь.

Побудуємо прямокутну декартову систему координат на площині. Вздовж осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 вліво і вправо від початку системи координат відкладемо відстань АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 294 , а вздовж осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 64 вгору і вниз – відстань АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 296 .

х
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 301

Вершини еліпса мають координати:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 302 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 303 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 304 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 305 .

Визначимо параметр АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 306 :

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 307 .

Фокуси лежать на осі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 27 на відстані АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 309 від центра еліпса і мають координати АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 310 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 311 .

Ексцентриситет еліпса АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 312 .

Директриси мають рівняння: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 291 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 314 , звідси АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 315 .

Приклад 4.

Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 316 і має велику піввісь АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 317 .

Розв’язання.

Канонічне рівняння еліпса має вид:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 274 .

З урахуванням, що велика піввісь АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 317 , рівняння перепишеться АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 320 .

Оскільки точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 316 належить еліпсу, то її координати повинні задовольняти останньому рівнянню. Отже, АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 322 .

Визначимо звідси: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 323 .

Тепер запишемо шукане канонічне рівняння еліпса:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 324 .

ГІПЕРБОЛА

Означення . Гіперболоюназивається геометричне місце точок на площині, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок – фокусів, є величина стала, дорівнює АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 325 (менша, ніж відстань між фокусами).

Позначимо відстань між фокусами АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 326 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 327 через АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 277 .

Нехай точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 329 – довільна точка гіперболи, тоді АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 330 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 331 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 332

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 333 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 334 і

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 335 .

Зробивши перетворення, аналогічні тим, що зроблено при виведенні рівняння еліпса маємо:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 336 – канонічне рівняння гіперболи,

де АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 337 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 275 – дійсна вісь гіперболи,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 276 – уявна вісь гіперболи,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 277 – відстань між фокусами,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 341 .

Гіпербола має дві вершини: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 342 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 343 . Точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 344 – центр гіперболи.

Означення . Ексцентриситетом гіперболиназивається відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 345 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 346

Означення . Асимптотою кривоїназивають таку пряму з властивістю, що точка, яка віддаляється по кривій у нескінченність, необмежено наближається до цієї прямої.

Гіпербола має дві асимптоти:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 347 .

Означення . Директрисами гіперболиназиваються дві прямі, перпендикулярні до фокусної (дійсної) осі гіперболи і знаходяться на відстані АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 289 від центра гіперболи.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 291 – рівняння директрис гіперболи.

Означення . Гіпербола, у якої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 350 називається р і в н о б і ч н о ю .

Приклад 5.

Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстаней яких від даної точки АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 351 і від даної прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 352 дорівнює АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 353 . Рівняння привести до канонічного виду та побудувати криву.

Розв’язання.

В прямокутній декартовій системі координат побудуємо точку АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 351 та пряму АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 352 .

у
Нехай точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 356 – довільна точка шуканого геометричного місця точок. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 357 – перпендикуляр до прямої АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 352 . Точка АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 49 має координати АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 360 .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 361

За умовою задачі АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 362 .

Відстані АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 363 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 357 визначимо за формулою відстані між двома точками на площині:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 365 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 366 ,

тепер маємо:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 367 ,

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 368 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 369 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 370 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 371 ;

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 372 .

Ліву і праву частини рівняння розділимо почленно на 5:

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 373 .

Одержане рівняння – канонічне рівняння гіперболи. Дійсна піввісь АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 374 , уявна піввісь АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 375 .

Визначимо координати фокусів гіперболи: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 376 .

Отже, фокуси гіперболи: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 377 , АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 378 .

Ексцентриситет одержаної гіперболи АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 379 . Рівняння асимптот гіперболи мають вид: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 380 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 381 .

Отже, АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 382 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 383 – асимптоти.

Директриса гіперболи: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 291 .

Для даного приклада: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 385 і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ ТА У ПРОСТОРІ. - Инвестирование - 386 – рівняння директрис.

Зробимо рисунок.

← Предыдущая страница | Следующая страница →