Поделиться Поделиться

Скейлинг. Однородные функции

Однородная функция одной переменной

Однородную функцию можно определить так:

Пример:

В этом случае

Какова "выгода" от однородной функции? Оказывается, огромная!

Например, пусть мы знаем, что £ (х) - однородная

функция. Тогда если мы знаем ее значение в одной единственной точке, то можем узнать в любой другой:

Пусть знаем в

а хотим в х. Обозначим

где

Если £ (х) непрерывна и дифференцируема, то можно

показать, что из определения

следует

(с точностью до сомножителя).

И таким образом, однородная непрерывная и дифференцируемая функция - это степенная функция.

Существуют ли другие (однородные), не степенные функции, для которых

Да, существуют, но при этом приходится отказаться от гладкости.

Например, 8 -функция Дирака:

Однородные функции нескольких переменных

Для однородной функции нескольких переменных имеет место:

в частности, для функции двух переменных

Можно расширить понятие однородной функции нескольких переменных, введя обобщенную функцию нескольких переменных. Например, для двух переменных обобщенная однородная функция

что означает, что каждая переменная имеет свою масштабную константу -

для х и для y.

Снова возникает вопрос, какова же "выгода" от того, что функция, например двух переменных - однородна? Оказывается, обобщение однородной функции на несколько переменных приводит к намного более важным вопросам, чем для функции одной переменной.

В самом деле, однородную функцию двух переменных можно свести к функции одной переменной. В самом деле, пусть

тогда выбираем

откуда:

Нет надобности объяснять программистам, как важно, если двумерный массив можно заменить на одномерный. Функция (Fz) называется скейлинговой (или автомодельной) функцией.

Следовательно,

Обозначим

тогда окончательно:

Таким образом функция двух переменных £ (х, у) выражается через функцию одной

Рассмотрим несколько примеров. Формула Планка теплового излучения:

где h- постоянная Планка, с - скорость света, к -постоянная Больцмана, О - циклическая частота, Т -абсолютная температура.

Выберем более удобные обозначения

где

Функция f (х, у) является функцией двух переменных х и у и для ее задания необходим двумерный массив, например, набор зависимостей f (х, у) как функции от х при разных значениях у рис 3.5.1.

Рис. 3.5.1. Зависимости функции f(х,у) от х при разных значениях у: 5 (сплошная линия), 7 (штриховая линия), 9 (пунктирная линия)

На рис. 3.5.2 приведена зависимость функции f(х,у) от у при разных х.

Рис. 3.5.2. Зависимости функции f(х, у) от у при разных значениях х : 10 (сплошная линия), 20 (штриховая линия), 30 (пунктирная линия)

Двумерный массив - f (х, у) можно изобразить так же как поверхность - рис 3.5.3.

Рис. 3.5.3. Поверхность, задаваемая функцией f(х,у)

Если бы стояла задача описать функцию £(х, у) экспериментально, то согласно рис. или рис. Необходимо было бы измерить ее значение для разных х и у, некоторые значения которых могли быть сложны для измерения (например очень высокие температуры).

До того как Планк написал свою формулу для теплового излучения, был известен закон Вина, согласно которому

или в используемых нами обозначениях

Заметим, что это типичное скейлинговое соотношение, что резко упрощает задачу экспериментального определения

В самом деле, вводя функцию

Находим, что она является функцией одной переменной, и что для ее определения достаточно одномерного массива (рис. 3.5.4).

Чернавский Д. С., Старков Н.И., Малков С.Ю., Косее Ю.В., Щербаков А.В. Об эконофизике и ее месте в современной теоретической экономике, УФН, 2011, т. 181, № 7, с. 15

Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика / 2-е изд., перераб. и доп. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982. - 256 с.

Еще один пример из так называемой экономической физики.

В экономике важную роль играет спрос.

Функция спроса на данный товар (или группу сходных товаров) зависит от:

1) количества товара £), потребляемого в единицу времени;

2) наличия у потребителя денег и (или доходов П);

3) цены товара - р

где и и р - условны и измеряются в различных единицах ($, €, ¥, ...), поэтому представляется правдоподобным, что О (и, р) - однородная функция этих переменных.

Рис. 3.5.4 - ѱ(х, у) как функция одной переменной z = х/ у

Действительно, если записать

, то как оказывается эмпирические данные неплохо укладываются на одну кривую.

Такой подход позволяет сформулировать задачу и получить аналитическое представление функции спроса и выявить очень важный параметр rmin.

С понятием скейлинга тесно связаны понятия автомодельность (скейлинг), подобие, промежуточная асимптотика.

При обработке опытных данных автомодельность приводила к через те, что, казалось бы, беспорядочное в обычных координатах облако опытных точек ложилось на единую кривую или поверхность.

Рис. 3.5.5 - - покупательная способность

Рис. 6. - потребитель не покупает товаров долговременного пользования (машины, телевизоры, дачи, элитарные товары), завжди идет на пищу, одежду, ЖКХ

← Предыдущая страница | Следующая страница →