Поделиться Поделиться

Перколяция

Хорошо изученными и важными в практическом отношении являются перколяционные сети.

Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, практика. - М.: УРСС, 2002.

Рассмотрим одну из наиболее простых постановок перколяционной задачи. Дана квадратная сетка (бесконечная), каждая связь которой имеет сопротивление г, такую связь для удобства

будем называть черной. Случайным образом черные (проводящие) связи разрываются. Можно говорить о том, что при этом черные связи заменяются на белые с сопротивлением г2 = оо . Задача - необходимо найти такую концентрацию черных связей році при и выше которой существует связная часть черных связей, по которой можно добраться из одной бесконечности в другую, без перепрыгивания через белую связь. Такая, связная часть, простирающаяся на бесконечность называется бесконечным кластером. Конечно, реальная сетка всегда конечна, поэтому, в данном случае, предполагается, что ее размер намного больше так называемой корреляционной длины, в этом случае разные реализации структуры черных связей, получаемы при случайном вырезании имеют одни и те же свойства. Вероятность же специальных вырожденных распределений черных связей пренебрежимо мала. Здесь имеет место аналогия со случайным распределением молекул газа в некотором объеме. Вероятность того, что в одной половине объема соберется весь газ, настолько маловероятна, что никогда не принимается во внимание. В тоже время, если молекул всего две, то эта вероятность равна 1/4 .

Кроме геометрической постановки задачи перколяции -возникновение бесконечного черного кластера, можно предложить и физическую постановку задачи, например, о протекании тока по черным связям. Черные связи проводят ток, белые нет. Необходимо определить сопротивление (проводимость) сетки в целом.

При р > році проводимость всей сетки в целом -С не равна нулю (ток находит свой путь от одного контакта на "бесконечности" к другому по черному бесконечному кластеру). При р < році С = 0, и, соответственно сопротивление всей сетки

Снарский А.А., Безсуднов И.В., Севрюков В.А . Процессы переноса в макроскопически неупорядоченных средах. - М.: УРСС, 2007. - 304 с.

Конечно, в теории протекания не обязательно рассматривать именно двумерную квадратную сетку. Возможны любые размерности и типы сеток (однородных в среднем). Кроме того, можно говорить не только о задаче связей, а и задаче узлов, когда завжди связи проводящие, а проводящие (черные) узлы случайным образом с данной вероятностью вырезаны.

Как оказалось, задача протекания, появившаяся при формулировке прикладной инженерной задачи о протекании газа или жидкости через пористый фильтр, является одним из наиболее простых и наглядных примеров теории фазовых переходов второго рода и критических явлений. Так, многие характеристики, описываемые геометрические и физические свойства вблизи порога протекания році ведут себя универсальным образом, описываются критическими индексами, численное значение которых не зависит от вида сетки.

Рассмотрим некоторые геометрические характеристики перколяционной сетки. Таких геометрических характеристик много - среднее число кластеров размера 5, распределение кластеров по размерам, средний размер кластера, мощность бесконечного кластера, характеристики различных частей бесконечного кластера скелета, скелетона, мертвых концов,...) и т.п. Здесь мы рассмотрим только некоторые характеристики. Первая из них это п5 (р) – распределение конечных кластеров по размерам, т.е. число кластеров из 5 узлов (связей) приходящихся на один узел (связь) решетки. Вторая характеристика удачно подходящая на роль параметра порядка Р( р) - мощность бесконечного кластера, вероятность того, что произвольный узел (связь) принадлежит бесконечному кластеру. Мощность бесконечного кластера - Р( р) выражается через П5 (р), для этого достаточно учесть, что вероятность попасть на черный узел - р есть сумма вероятности попасть на бесконечный кластер Р( р) или на любой конечный

откуда:

Вблизи порога протекания році мощность бесконечного кластера ведет себя аналогично параметру порядка в теории фазовых переходов второго рода:

Роль температуры - Т и критической температуры - Тс в фазовых переходах теперь играют концентрация - р хорошо проводящих связей/узлов (черная фаза) и порог протекания - році .

Близость к порогу протекания будем обозначать:

Рассмотренную аналогию между теорией фазовых переходов и теорией протекания можно углубить, введя в теорию протекания аналог безразмерного магнитного поля -И. В рассматриваемых здесь геометрических характеристиках перколяционных систем это делается довольно искусным и искусственным образом, вводится так называемый демон Кастеляйна-Фортуина - черный узел вне решетки, связанный с каждым черным узлом с вероятностью

1 - ехр (-И). Аналог свободной энергии в теории фазовых

переходов может быть записан как

где

- доля конечных кластеров из 5 узлов, у

которых ни один из узлов не связан с демоном Кастеляйна-Фортуина.

Параметр порядка в теории фазовых переходов может быть найден из С как производная по полю Ъ, при Ъ = 0

и из (3.11.5) находим:

что дает главную (сингулярную) часть РОЦІр) (3.11.2):

При нулевом поле Ь = 0 , параметр порядка Р( р) ниже порога протекания р < році равен нулю, что полностью аналогично ситуации в теории фазовых переходов - при Т > Тс ферромагнитное состояние (намагниченность т ^ 0) переходит в парамагнитное (т = 0). При Ь ^ 0 и при Т > Тс имеется ненулевой параметр порядка (3.11.5) "обязанный" внешнему магнитному полю - Ь и поэтому пропорциональный ему. Легко увидеть, что введение демона Кастеляйна-Фортуина также оставляет параметр порядка

теории протекания - Р( р) не равным нулю ниже порога протекания, т.е. и при р < році существует бесконечный кластер, величина которого пропорциональна Ь . В самом деле, при роціlt; році формально нет бесконечного черного кластера, но при Ь ^ 0 (Ь<< 1) каждый черный узел связан с другим через демона Кастеляйна-Фортуина с вероятностью

пропорциональной полю.

Что и означает существование бесконечного кластера

пропорционального Ь

Обратимся теперь к физическим характеристикам в теории протекания, позволяющим намного более наглядным образом пояснить основные закономерности фазовых переходов. Будем теперь считать, что черные связи в перколяционной сети имеют сопротивление г, а разорванные

(белые)

При размерах сетки

намного больше так называемого корреляционного радиуса £ влияние конкретного случайного распределение черных и белых связей (случайная реализация структуры) становится несущественной и хорошо определенной величиной является полное сопротивление - Я. Для того, чтобы абстрагироваться от данного конкретного размера сетки (Ь) удобно перейти от сопротивления всего образца (решетки) к удельной эффективной проводимости - о~е:

где ё = 2,3... размерность сетки.

По определению на размерах порядка и более корреляционного радиуса завжди свойства сетки в целом (в данном случае удельная эффективная проводимость) одинаковы, соответственно должны быть одинаковы и основные, главные элементы их протекательной структуры.

В качестве параметра порядка, описывающего фазовый переход, удобно ввести величину пропорциональную эффективной проводимости - ое. Как и для параметра порядка Р( р) эффективная проводимость ое при р > році не равна нулю, а ниже порога при г2 = 00 равна

ое (р < році) = 0 . Такое поведение легко пояснить - выше порога протекания ток может протечь от одного контакта к другому (которые могут быть формально разнесены и на бесконечное расстояние) проходя по черным - проводящим, связям.

Это и означает, что существует бесконечный черный кластер. При р < році существуют только конечные кластеры, с размером меньше корреляционной длины, они изолированы друг от друга т.к. г2 = оо и поэтому ток через сетку пройти не может. Т.о. при г2 = оо эффективная проводимость ноль ое(роціlt; році) = 0, а если г2 большое, но конечное, т.е. И = Ц / г2 << 1, но не ноль, то ток сможет протечь от одного конечного кластера к другому. При этом, конечно же проводимость сетки будет пропорциональна И ое (р < році) ~ И и при И -> 0 эффективная проводимость ое (р < році)^ 0 .

Таким образом нет необходимости вводить демона Кастеляйна-Фортуина, его роль играют белые сопротивления с большим, но конечным сопротивлением. Роль внешнего поля теперь играет отношение

Критическим поведением вблизи порога протекания обладает не только плотность бесконечного кластера Р(р), но и множество других важных характеристик перколяционной сети, например, корреляционная длина, которая расходится при приближении к році:

где V - критический индекс корреляционной длины.

Критическим образом ведет себя и удельная эффективная проводимость році. Вблизи порога протекания выше (р > році) и ниже (р < році) имеет место:

Аналогия между фазовым переходом второго рода и перколяционным переходом проявляется здесь в том, что если критическая температура - Тс и пороги протекания - році , для каждого материала, или, соответственно, решетки имеет свое численное значение, то критические индексы являются универсальными, зависящими только от размерности задачи, но не зависящими от типа решетки.

Рассмотрим вопрос применения ренорм-группового метода для вычисления критических индексов.

Вблизи порога протекания структура связных частей перколяционной сети (бесконечный кластер, при роціgt; році и "решеточные звери" при роціlt; році ) имеют фрактальную структуру, т.е. являются статистически самоподобными, Таким образом, переходя от одного масштаба к другому и требуя масштабной инвариантности можно получить приближенное значение критических индексов. Ниже мы рассмотрим несколько примеров использования метода ренорм-группы для вычисления порогов протекания и критического индекса корреляционной длинны V .

Пример 1. Порог протекания треугольной решетки, задача узлов

Для удобства будем рассуждать в терминах протекания тока - проводящий узел (черный) проводит ток, не проводящий (белый) не проводит, завжди связи проводящие. На рис 3.11.1 а - треугольная решетка с обозначением проводящих (черных) и непроводящих (белых) узлов, с размером треугольной ячейки равным Ь; б -ренормированная решетка, треугольные ячейки (обозначены серым) представляют теперь новые узлы, связи между которыми обозначены жирными черными линиями. Новые узлы образуют новую (ренормированную) треугольную решетку с размером ячейки

Рис. 3.11.1 - Схематическое изображение кластеров черной (хорошо проводящей фазы)

Правила преобразования черных узлов следующие -серый треугольник решетки переходит в черный узел ренормированной, если у него 2 или 3 узла черные, в противном случае он переходит в белый, непроводящий узел.

Вероятность черного узла в треугольной решетке равна р , поэтому вероятность встретить в новой ренормированной решетке проводящий, черный, узел равна році + 3 році (1 - р), где первое слагаемое "обязано" своим происхождением серому треугольнику с тремя черными узлами, а второе - с двумя. При этом, т.к. расположение черных и белых узлов во втором случае возможно тремя разными способами, второе слагаемое имеет сомножитель 3. Таким образом, вероятность встретить черный узел в ренормированной решетке р равна:

Сеть, находящаяся на пороге протекания при ренорм-групповом преобразовании остается на пороге:

т.е. році - является неподвижной точкой преобразования. Тогда из уравнения, связывающего между собой р и р получаем:

Это уравнения имеет три решения році = 1, році = 0, році = 1/2 . Первые два из них тривиальны - полностью "белая" или "черная" решетка остается таковой. Третье решение

и есть искомый порог протекания треугольной решетки для задачи узлов.

В данном примере, в отличие от нескольких других, завжди складывается настолько удачно, что полученное ренорм-групповым методом выражение для порога протекания совпадает с точным значением.

Покажем теперь, как можно выразить критический индекс корреляционной длины - V .

Пусть в некоторой решетке

тогда в ренормированной и где

Таким образом:

откуда для критического индекса находим:

Устремляя концентрацию к пороговой році для Л можно записать:

и для критического индекса получается простое выражение

Ранее, для треугольной решетки было получено

и

откуда:

Точное значение (которое возможно получить для данной решетки) V = 4/3"1.33, и т.о. применение метода ренорм-группы дает очень хорошее приближение.

Пример 2. Квадратная решетка, задача связей

Одна из трудностей применения ренорм-группового метода является определение ренормализуемой ячейки и требований протекания к ней. В треугольной решетке этой трудности не было, ячейка выбиралась треугольной и протекание определялось наличием двух и более черных узлов. В случае квадратной решетки требуется более аккуратное рассуждение. Под перколирующим кластером мы понимаем как кластер, соединяющий "верх и низ", так и кластер, соединяющий "лево и право". Поэтому протекательное состояние для ячейки выберем, например, как протекание "слева направо". Тогда в качестве ячейки квадратной решетки можно выбрать конфигурацию, изображенную на рис. 3.11.2.

Рис. 3.11.2 - Ячейка квадратной решетки

Ячейка квадратной решетки, для исследование протекания "слева-направо". а и Ь - левые, с и сС - правые контакты. Каждая из связей - ае, ее,... является проводящей с вероятностью р.

При ренормализации ячейка превращается в одну

связь:

Соответственно ниже изображено, с указанием вероятности протекания, завжди проводящие "слева направо" конфигурации ячейки, пунктиром указаны разорванные (выкинутые) связи, см. рис. 3.11.3.

Рис. 3.11.3 - Проводящие конфигурации

Таким образом, вероятность получить протекательную ренормированную конфигурацию равна:

Подставляя в правую и левую части р = р= р легко убедится, что решение полученного уравнения дает:

Сразу же можно вычислить и критический индекс корреляционной длинны:

беря производную от р'= р( р), по р и подставляя р = році = 1/2 . Находим:

Таким образом:

при точном значении V = 4/3 .

Далеко не всегда метод ренормгруппы дает такие хорошие результаты. Для уточнения необходимо брать большие размеры ренормирующей ячейки, например, вместо ячейки с Ь = 2 брать ячейку с b = 5 .

На первый взгляд такое уточнение не представляет значительного усложнения. Однако, на самом деле, это не просто значительное, а принципиально значительное усложнение, так как вместо 32 -х для случая b = 2 комбинаций из которых 20 протекательных, в случае b = 5число комбинаций равно 225 "3 107, из которых для начала необходимо выбрать протекательные, а затем еще и найти вероятность их появления

← Предыдущая страница | Следующая страница →