Поделиться Поделиться

Наприклад знаходження суб'єктивної імовірності

Наш співвітчизник у результаті нелегкої праці заощадив суму, еквівалентну 4,000 дол. Для придбання автомобіля бажаної марки йому не вистачає приблизно 1,500 дол. Знайомі радять йому звернутись до компанії, яка може взяти дані гроші під 36% річних.

За умови недоторканності вкладу людину це цілком влаштовує. Проте численні повідомлення про судові справи, нечесність трастових компаній насторожують її. У будь-якому разі людині доводиться прийняти рішення: чи вкладати, чи ні. Через те цілком слушно нашого героя надалі називати особою, що приймає рішення.

Зібравши додаткову інформацію з різних джерел, особа вирішила-таки вкласти гроші в компанію.

Виявляється, що цим самим особа, яка приймає рішення (вкладати чи не вкладати), оцінила ймовірність події, яка її цікавить. При цьому очевидно, що не йдеться про статистичну інтерпретацію імовірності.

Використовуючи теорію сподіваної корисності, визначимо чисельно величину даної оцінки. Вважатимемо, що:

1)поведінка особи, яка приймає рішення, підпорядкована аксіомам раціонального вибору в умовах ризику;

2) особа не схильна до ризику.

Сформулюємо нашу ситуацію в термінах лотерей. Особі, що приймає рішення, доводиться обирати одну з двох альтернатив:

A. 4,000 дол. напевно;

B. лотерею, в якій вона з імовірністю р отримує 5,440 дол. (4,000 дол. + + 36 % річних) чи з імовірністю 1 - р не отримує нічого.

Оскільки власник 4,000 дол. вирішив вкладати гроші, то лотерея Ь(0; р; 5,440) для нього привабливіша, ніж мати свої 4,000 дол. напевно. Звідси детермінований еквівалент лотереї до; р; 5,440) (позначимо його через сі) буде більшим, ніж 4,000. Маємо першу нерівність:

Водночас відомо, що детермінований еквівалент лотереї для особи, не схильної до ризику, менший від сподіваного виграшу в лотереї. Звідси маємо другу нерівність:

Поєднуючи останні дві нерівності отримуємо:

Таким чином, наша особа оцінює імовірність здійснення проекту не менше ніж на 0.74.

Ця досить груба оцінка. Проте, користуючись приблизно тими ж прийомами, її дозволяється уточнити.

Наведений наприклад демонструє принципову можливість оцінювання ймовірності через поведінку людей.

Неподільні блага і схильність до ризику

Коли для більшості осіб спостерігається несхильність до ризику, коли йдеться про пряму корисність багатства, то інша ситуація спостерігатиметься для непрямої корисності багатства за наявності неподільних благ.

Дамо означення.

Неподільне благо споживається як єдине ціле. Споживання його частинами неможливе.

Прикладами неподільних благ є будинок, автомобіль, а також таке суперважливе благо, як життя.

Розглянемо випадок вибору споживачем доцільності споживання неподільного блага.

Позначимо через х - витрати на всі інші блага, г - кількість одиниць неподільного блага, І - величину багатства індивіда,р - ціну неподільного блага, и(х,г) - функцію корисності за Нейманом - Моргенштерном, визначену на множині означених благ.

Очевидно, що модель вибору споживачем найкращого "меню" запишеться у формі:

Відносно подільних та неподільних благ дотримуватимемося стандартних припущень:

o блага вважають благами з додатною корисністю, тобто збільшення споживання кожного з них е бажаним для індивіда;

o за кожного фіксованого г індивід несхильний до ризику відносно блага х. Зроблені припущення мають таку графічну ілюстрацію (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Корисність подільного блага за наявності та відсутності неподільного

Зображення відображає варіант абсолютної необхідності подільного блага х та відсутність даної властивості для неподільного блага.

"Меню" споживача залежить від ціни неподільного блага. Очевидно, що при перевищенні ціни р неподільного блага над загальним доходом / споживач не спроможний його придбати, і "меню" складатиметься лише з х = І. Розглянемо складніший і цікавіший випадок, коли р < І. Для спрощення міркувань вважатимемо, що 2р > /, тобто споживач може (за бажання) придбати лише одну одиницю неподільного блага. Визначимо "меню" для цього випадку.

Очевидно, що за наявності неподільного блага корисність становитиме величину и(/ -р, 1), за його відсутності - и(1,0). Споживач обере той варіант споживання, за якого корисність більша. Коли через У(І) позначити непряму корисність доходу /, то

Виявляється, що ця функція не буде увігнутою, незважаючи на увігнутість за х функції и{х,г) для довільного г. Це ілюструє рис. 7.11, на якому непряма корисність доходу зображена жирною кривою.

Тепер розглянемо лотерею, що має два наслідки /, та /2 з імовірностями д та. 1 - о. Індивід може використовувати дані суми на придбання певного неподільного блага за ціною р, а також витрачати на всі інші блага. Коли /, та /2 відповідають точкам, зображеним на рис. 7.11, ця гра (лотерея) буде привабливішою для індивіда, ніж отримання сподіваного виграшу напевно. Таким чином, за деяких значень доходу індивід буде схильним до ризику.

Рис. 7.11. Повна корисність доходу за наявності неподільного блага

Такий несподіваний ефект уперше було помічено й обґрунтовано М. Фрідманом і Л. Севіджем. Далі дослідження цього явища було розвинуте у багатьох роботах, зокрема Дж. Маршалла. Цікаво, що серед неподільних благ у цих роботах розглядалося таке суперважливе благо, як життя.

Історична довідка

Основи теорії сподіваної корисності закладені повсякденною діяльністю людей протягом століть. Лихварі просили більший процент на ризикованішу позичку, старовинні банкіри фінансували ризиковані заморські подорожі, сподіваючись на велику винагороду, яка відшкодовувала б не лише фактичні витрати, а й багатомісячне непевне чекання заповітних вітрил на горизонті.

Проте наукової форми віковічний досвід почав набувати, очевидно, в працях академіка Петербурзької Академії наук Д. Бернуллі. Йому вдалося у математичній формі відобразити той факт, що для поміркованої людини привабливішим є гарантоване отримання в азартній грі 10 тисяч дукатів, замість гри в "орлянку", в якій дозволяється з однаковою імовірністю чи отримати 20 тисяч, чи не отримати нічого. Аналізуючи знаменитий "петербурзький парадокс", він дійшов висновку, що в ризикованих операціях потрібно максимізувати не сподіваний виграш, а сподівання корисності виграшу. Ідеї Д. Бернуллі набагато випередили відповідний час, і до систематичного опрацювання їх наукова громада вдалася лише у XX ст.

Наступний етап розвитку теорії сподіваної корисності дозволяється датувати 1931 р., коли Ф. Рамсей заклав основу аксіом для сподіваної корисності, яка, до того ж, базувалася на суб'єктивній імовірності. Важливою подією в розвитку ідей суб'єктивної імовірності вважається праця де Фінетті (1937).

Паралельно йшла інтенсивна робота з розвитку теорії корисності для детермінованих ситуацій. її було започатковано в 70-х роках минулого століття і пов'язана вона з іменами Джевонса, Менгера, Л. Вальраса. На зламі сторіч та на початку XX ст. їхню роботу продовжили Еджворт, Фішер, В. Парето, а також український економіст Є. Слуцький.

Певно, праці цих учених, а також піонерні роботи Ф. Рамсея та де Фінетті стали живильним середовищем для строгого наукового обґрунтування ідеї сподіваної корисності Д. Бернуллі у класичній праці Джона фон Неймана та Оскара Моргенштерна.

Ідеї суб'єктивної імовірності та сподіваної корисності були синтезовані Л. Севіджем.

Розвиток теорії сподіваної корисності сприяв становленню міждисциплінарної науки, яка дістала назву Теорії прийняття рішень. Народження цього терміна пов'язують з діяльністю групи вчених Гарвардської Школи Бізнесу, які систематично використовували на практиці надбання теорії. Аксіоматика теорії прийняття рішень істотно використовує аксіоматику теорії сподіваної корисності та суб'єктивної імовірності. Коло теорії прийняття рішень надзвичайно широке. Відомі розробки із застосуванням даної теорії.

o у галузі нафтової та газової промисловості;

o плануванні розробки нової техніки;

o аналізі стратегії американських досліджень Марса;

o створенні нового аеропорту в місті Мехіко;

o галузі ядерної енергетики;

o плануванні капіталовкладень тощо.

Перелік праць з теорії сподіваної корисності і теорії прийняття рішень налічує не одну тисячу.

Слід відзначити видатний внесок у розвиток теорії прийняття рішень за умов ризику вітчизняного вченого, доктора фізико-математичних наук, академіка НАНУ Ю.М. Єрмольєва. Також наприкінці 60-х років XX ст. йому вдалося розробити серію прямих чисельних методів для розв'язання дуже складних задач стохастичної оптимізації, які "обслуговують" клас моделей прийняття рішень за умов ризику. Ю.М. Єрмольєв ініціював одного з авторів цих рядків до систематичного застосування вказаних методів до економічних проблем.

На нашу думку, внесок Ю.М. Єрмольєва в економічну науку зрівняний з внеском Л.В. Канторовича.

← Предыдущая страница | Следующая страница →