Поделиться Поделиться

Излучение

Излучение - Инвестирование - 1 8.1Функция Планка в шкале длин волн имеет вид
Излучение - Инвестирование - 2
а приближение Вина дается формулой
Излучение - Инвестирование - 3
Поэтому
Излучение - Инвестирование - 4
Значит, относительная погрешность приближения Вина Излучение - Инвестирование - 5 = Излучение - Инвестирование - 6 . С другой стороны, исследуя функцию Вина на максимум, легко найти, что
Излучение - Инвестирование - 7
Этот очень полезный результат есть закон смещения Вина. Обычно ограничиваются тем, что отмечают постоянство произведения Излучение - Инвестирование - 8 . Однако очень важно и численное значение Излучение - Инвестирование - 9 , точнее, то, что это число заметно превосходит 1. Действительно, мы имеем Излучение - Инвестирование - 10 , так что Излучение - Инвестирование - 5 мало при Излучение - Инвестирование - 12 . Интенсивность в максимуме, которую мы (теперь обоснованно) вычисляем в приближении Вина, есть
Излучение - Инвестирование - 13

Если не пользоваться приближением Вина, а работать с точной планковской функцией, то оказывается, что Излучение - Инвестирование - 14 равно не точно 5, а 4.965 (проверьте!). Все остальное, включая заключение, что Излучение - Инвестирование - 15 , остается в силе.

Длинноволновое приближение Рэлея-Джинса, противоположное приближению Вина, обеспечивает относительную погрешность Излучение - Инвестирование - 16 лишь при Излучение - Инвестирование - 17 (проверьте). Скажем, точность в 10% приближение Рэлея-Джинса дает лишь при Излучение - Инвестирование - 18 , превосходящих Излучение - Инвестирование - 19 в 25 раз!

В итоге оказывается, что вся планковская кривая Излучение - Инвестирование - 20 , как ее видит глаз на обычном графике, неотличима от виновской кривой. Большинство же студентов (да, пожалуй, и экс-студентов тоже) ошибочно полагает, что приближение Вина для Излучение - Инвестирование - 20 применимо только слева от максимума, приближение Рэлея-Джинса начинает работать слегка правее него, а сам максимум хорошо описывается лишь точной формулой Планка. На самом деле, как мы убедились, все совсем не так.

Излучение - Инвестирование - 1 8.2Планковские кривые, соответствующие разным T, не пересекаются, поскольку Излучение - Инвестирование - 23 . Отсюда следует, что при любом (фиксированном) Излучение - Инвестирование - 18 значения Излучение - Инвестирование - 20 монотонно возрастают с T. Далее, высота максимума планковской кривой, т.е. максимальное значение интенсивности, пропорциональна Излучение - Инвестирование - 26 для Излучение - Инвестирование - 20 и Излучение - Инвестирование - 28 для Излучение - Инвестирование - 29 . Это легко показать, исследуя на максимум соответствующие функции Планка (см. задачу Излучение - Инвестирование - 1 ). Площадь же под обеими кривыми, и Излучение - Инвестирование - 20 и Излучение - Инвестирование - 29 , растет Излучение - Инвестирование - 33 (закон Стефана-Больцмана). Поэтому с ростом температуры кривая Планка в шкале длин волн "заостряется", а в шкале частот -- "притупляется".

Излучение - Инвестирование - 1 8.3Пусть f(x) дифференцируема в точке Излучение - Инвестирование - 35 . Для простоты считаем, что Излучение - Инвестирование - 36 и Излучение - Инвестирование - 37 . Для получения степенной аппроксимации f(x) в окрестности Излучение - Инвестирование - 35 , т.е. представления f(x) вида
Излучение - Инвестирование - 39
поступим следующим образом. Будем рассматривать Излучение - Инвестирование - 40 как функцию Излучение - Инвестирование - 41 . Тогда имеем обычную линеаризацию в окрестности Излучение - Инвестирование - 35 :
Излучение - Инвестирование - 43
Отсюда, потенцируя, получаем вышеприведенную степенную аппроксимацию f(x), причем обнаруживается, что
Излучение - Инвестирование - 44
Подобные степенные аппроксимации используются в физике (и, в частности, в астрофизике) буквально на каждом шагу. К сожалению, ни в одном известном авторам курсе математического анализа об этом нет ни слова -- хотя учить этому следовало бы всех, даже изучающих анализ не слишком глубоко. Видимо, считается, что студент сам все это сообразит, когда немного "подрастет". Мы решили нарушить традицию и не ждать, когда это случится.

Приведенная в условии задачи степенная аппроксимация зависимости чернотельной интенсивности Излучение - Инвестирование - 29 от T в окрестности Излучение - Инвестирование - 46 получается только что описанным стандартным способом. Выкладку предоставляем читателю.

Степенная аппроксимация функции Планка, которую почему-то не отыщешь ни в одном учебнике, позволяет понять многие качественные особенности солнечного и звездных спектров. См., в частности, задачу Излучение - Инвестирование - 1 .

Излучение - Инвестирование - 1 8.4А почему, собственно, она должна равняться (3/2)kT? Ведь фотон -- не классическая частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью. А только к таким частицам и применима классическая формула (3/2)kT.

Чтобы найти среднюю энергию одного чернотельного фотона Излучение - Инвестирование - 49 , надо объемную плотность энергии поля излучения
Излучение - Инвестирование - 50
поделить на число фотонов в единице объема
Излучение - Инвестирование - 51
Сделав в обоих интегралах одну и ту же замену Излучение - Инвестирование - 52 , обнаруживаем, что
Излучение - Инвестирование - 53
где
Излучение - Инвестирование - 54
Для оценки A можно воспользоваться приближением Вина, т.е. пренебречь 1 по сравнению с Излучение - Инвестирование - 55 в двух последних интегралах (ср. с обсуждением в задаче Излучение - Инвестирование - 1 ). Тогда немедленно получим, что Излучение - Инвестирование - 57 , поскольку (советуем это запомнить)
Излучение - Инвестирование - 58
Последнее легко доказывается интегрированием по частям. Итак, Излучение - Инвестирование - 59 ; вычислив интегралы точно, мы нашли бы, что A=2.70, так что окончательно
Излучение - Инвестирование - 60

Таким образом, средняя энергия одного чернотельного фотона без малого вдвое больше средней энергии теплового движения нерелятивистской частицы. Однако вклад каждого фотона в давление почти в точности такой же, как и каждой частицы: давление излучения Излучение - Инвестирование - 61 , газовое же давление P = n k T, где Излучение - Инвестирование - 62 и n -- концентрации фотонов и частиц, соответственно. (Как вы думаете, почему так получается? Впрочем, это уже скорее физика, чем астрономия. Но ведь решаемся же мы нет-нет да и приучить вас к "физической математике", так почему же не поучить чуть-чуть и "астрономической физике"?) Из только что сказанного следует, что отношение концентраций фотонов и частиц есть одновременно (с точностью Излучение - Инвестирование - 63 ) и отношение давления излучения к газовому (см. задачу Излучение - Инвестирование - 1 ).

Излучение - Инвестирование - 1 8.5Выражение для Излучение - Инвестирование - 62 уже появлялось в решении предыдущей задачи:
Излучение - Инвестирование - 67
Подстановка Излучение - Инвестирование - 52 приводит его к виду
Излучение - Инвестирование - 69
где
Излучение - Инвестирование - 70
Таким образом, Излучение - Инвестирование - 71 . Чтобы найти точное значение коэффициента пропорциональности, надо получить C. Как мы знаем (см. решение предыдущей задачи), приближенно можно считать, что C=2. Точное же значение C получается так:
Излучение - Инвестирование - 72
где Излучение - Инвестирование - 73 -- дзета-функция Римана:
Излучение - Инвестирование - 74
Число Излучение - Инвестирование - 75 не выражается через какие-либо "стандартные" постоянные ( Излучение - Инвестирование - 76 , e, постоянную Эйлера и т.п.). Оно равно Излучение - Инвестирование - 77 .

После подстановки всех постоянных в полученное выше выражение для Излучение - Инвестирование - 62 находим, что
Излучение - Инвестирование - 79

Мы несколько отступили здесь от нашего обычного стиля -- получать скорее оценки, чем точные результаты, и стараться избегать громоздких расчетов. Сделать это хотя бы один раз, однако, полезно.

А вот как формулу Излучение - Инвестирование - 80 можно получить совсем просто, комбинируя другие известные результаты. Плотность лучистой энергии равновесного излучения равна
Излучение - Инвестирование - 81
где a -- постоянная плотности излучения:
Излучение - Инвестирование - 82
а средняя энергия одного фотона Излучение - Инвестирование - 83 (см. предыдущую задачу). Поэтому
Излучение - Инвестирование - 84
что сразу же и дает коэффициент 20 при Излучение - Инвестирование - 85 . На самом деле, конечно, ничего принципиально нового в таком способе расчета нет -- просто мы использовали готовое численное значение постоянной плотности излучения a (оно есть, например, у Аллена [1]).

Излучение - Инвестирование - 1 8.6Частота фотона, испускаемого при переходе атома водорода с уровня m на уровень n, дается известной формулой
Излучение - Инвестирование - 87
где Излучение - Инвестирование - 88 -- частота предела ионизации с первого уровня, Излучение - Инвестирование - 89 Гц.

Перейдем от частот к длинам волн:
Излучение - Инвестирование - 90
где Излучение - Инвестирование - 91 Излучение - Инвестирование - 92 .

Искомый переход найдем перебором. Вначале положим n=1. Тогда для m=2 получаем Излучение - Инвестирование - 93 Излучение - Инвестирование - 92 . Это знаменитая линия лайман-альфа, или Излучение - Инвестирование - 95 . Ясно, что для m>2 будем иметь Излучение - Инвестирование - 96 Излучение - Инвестирование - 92 , т.е. переходы на первый уровень нам не подходят. Возьмем n=2. Тогда для m=3 получим Излучение - Инвестирование - 98 Излучение - Инвестирование - 92 . Это и есть искомый переход (линия H Излучение - Инвестирование - 100 ). Различие в длине волны в четвертом знаке (6 вместо 3) нас смущать не должно, так как при расчете мы использовали значение Излучение - Инвестирование - 101 лишь с тремя значащими цифрами.

Излучение - Инвестирование - 1 8.7По формуле из решения предыдущей задачи находим
Излучение - Инвестирование - 103
Таким образом, линия межзвездного водорода H Излучение - Инвестирование - 104 лежит в субмиллиметровом диапазоне. Излучение в нем поглощается земной атмосферой. Наземные наблюдения линии невозможны.

Излучение - Инвестирование - 1 8.8Линия H Излучение - Инвестирование - 106 возникает при переходе Излучение - Инвестирование - 107 в атоме водорода. Из общей сериальной формулы для водорода (см. задачу Излучение - Инвестирование - 1 )
Излучение - Инвестирование - 109
полагая m=n+1 и считая, что Излучение - Инвестирование - 110 , находим
Излучение - Инвестирование - 111
Согласно этой формуле, линия H Излучение - Инвестирование - 112 , например, имеет длину волны около 5 см.

Подобные радиолинии, возникающие при переходах между близкими высокорасположенными уровнями, давно уже наблюдаются в туманностях. Как вы думаете, есть ли надежда обнаружить их также в радиоизлучении Солнца? (Ср. задачу Излучение - Инвестирование - 1 .)

Излучение - Инвестирование - 1 8.9Исходим из сериальной формулы для водорода в шкале частот:
Излучение - Инвестирование - 115
Полагая в ней Излучение - Инвестирование - 116 и считая, что Излучение - Инвестирование - 110 и Излучение - Инвестирование - 118 , получим
Излучение - Инвестирование - 119
Отсюда видно, что, действительно, при увеличении Излучение - Инвестирование - 120 на единицу частота соответствующего перехода возрастает на одну и ту же величину Излучение - Инвестирование - 121 которая есть не что иное как частота линии H Излучение - Инвестирование - 106 .

Излучение - Инвестирование - 1 8.10Ионизация атомов водорода с n-го уровня может производиться фотонами с длиной волны короче, чем та, которую имеет излучение, образующееся при переходе атома водорода с уровня Излучение - Инвестирование - 124 на уровень n. По формуле из решения задачи Излучение - Инвестирование - 1 находим, что эта длина волны равна Излучение - Инвестирование - 126 Излучение - Инвестирование - 92 . При n = 2 имеем 3648 Излучение - Инвестирование - 92 (на самом деле 3646 Излучение - Инвестирование - 92 ). Таким образом, излучение видимого диапазона не способно ионизовать атомы водорода со второго уровня. Это очень важное заключение.

Излучение - Инвестирование - 1 8.11Причина этого -- различие плотности. В атмосферах белых карликов она значительно выше, чем в солнечной хромосфере (почему?). Поэтому средние расстояния между атомами в хромосфере гораздо больше, чем в атмосферах белых карликов. Но радиус n-й боровской орбиты Излучение - Инвестирование - 131 быстро растет с n, именно, Излучение - Инвестирование - 132 . Понятно, что он не может быть больше среднего расстояния между атомами -- иначе станет непонятно, какому именно атому принадлежит электрон, находящийся на этом уровне, т.е. произойдет его "обобществление". Поэтому, чем выше плотность, тем меньшее число уровней реализуется, а потому и тем меньшее число бальмеровских линий может возникать.

Удивительно, но факт: просто подсчитывая число бальмеровских линий, которые видны в спектре той или иной звезды, можно оценить плотность ее атмосферы!

← Предыдущая страница | Следующая страница →