Поделиться Поделиться

Физика звезд

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.1Энерговыделение происходит в объеме, и потому растет пропорционально кубу характерного размера объекта, теплоотвод же происходит с поверхности, а ее площадь возрастает как квадрат характерного размера. В итоге с увеличением размера тела (при сохранении темпа энерговыделения) его поверхностная температура должна расти. Дальше додумайте сами.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.2Молярная масса газа -- это среднее значение массы одной частицы газа, выраженное в атомных единицах массы. Своим низким значением молярная масса солнечного вещества обязана, во-первых, тому, что основной его компонентой (70% по массе) является водород, и, во-вторых, практически полной его ионизации. При ионизации атома водорода, масса которого почти равна атомной единице массы, появляются две частицы -- протон и электрон. Масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой протона. Поэтому молярная масса чисто водородного полностью ионизованного газа близка к 0.5. В недрах Солнца молярная масса немного больше этого значения (0.6). Причина -- присутствие более тяжелых элементов (молярная масса чисто гелиевого полностью ионизованного газа равна 4/3 [поймите, почему], для чистого кислорода она близка к 2 и т. д.).

Полное число частиц, составляющих Солнце, можно оценить следующим образом:
Физика звезд - Инвестирование - 3
где Физика звезд - Инвестирование - 4 г -- атомная единица массы. Вклад в массу наружных неионизованных слоев, где значение Физика звезд - Инвестирование - 5 больше, пренебрежимо мал.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.3При плотности в 150 г/см3и средней молярной массе 0.6 (см. задачу Физика звезд - Инвестирование - 1 ) концентрация частиц равна
Физика звезд - Инвестирование - 8
На самом деле средняя молярная масса в центре Солнца сейчас несколько больше, чем 0.6, так как водород там уже сильно выгорел, превратившись в гелий. Однако порядок величины n остается тем же, а только он нам и нужен.

Концентрация фотонов чернотельного излучения при температуре Физика звезд - Инвестирование - 9 равна (см. задачу Физика звезд - Инвестирование - 1 )
Физика звезд - Инвестирование - 11
Это на три с лишним порядка меньше концентрации частиц. Значит, и роль давления излучения в недрах Солнца мала (см. решение задачи Физика звезд - Инвестирование - 1 ).

Любопытно, что, согласно расчетам моделей строения Солнца, в большей части его массы плотность Физика звезд - Инвестирование - 13 и температура T связаны соотношением Физика звезд - Инвестирование - 14 . Поэтому отношение Физика звезд - Инвестирование - 15 , найденное нами для центра Солнца, характерно для его недр в целом. Фотонов в недрах Солнца (и всех звезд, кроме самых массивных) гораздо меньше, чем протонов.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.4Плотность воды 1 г/см3 . При этом известно, что в жидкостях молекулы почти соприкасаются друг с другом. При плотностях, существенно больших плотности воды, имеющихся в недрах Солнца, атомы водорода ионизуются давлением. В результате доля объема, занятая частицами (соответственно атомами и голыми ядрами), уменьшается с Физика звезд - Инвестирование - 17 до Физика звезд - Инвестирование - 18 , где Физика звезд - Инвестирование - 19 см -- размер ядра, Физика звезд - Инвестирование - 20 см -- размер атома. Таким образом, ядра начнут соприкасаться и "мешать" друг другу лишь при плотностях Физика звезд - Инвестирование - 21 г/см3 . Это -- ядерные плотности. Они характерны для нейтронных звезд. В принципе вплоть до этих плотностей ионизованное вещество может оставаться газом.

Наряду с плотностью, агрегатное состояние звездного вещества определяется температурой. Так, известно, что при понижении температуры белого карлика атомные ядра в его недрах должны выстраиваться в кристаллическую решетку. Чтобы ядра атомов двигались свободно, т.е. образовывали газ, требуется, чтобы их кинетическая энергия kT существенно превосходила энергию кулоновского взаимодействия, равную по порядку величины Физика звезд - Инвестирование - 22 , где Физика звезд - Инвестирование - 23 -- среднее расстояние между ядрами. Условие Физика звезд - Инвестирование - 24 с использованием соотношений (для чисто водородной плазмы)
Физика звезд - Инвестирование - 25
где n -- концентрация ядер, можно переписать в следующем виде:
Физика звезд - Инвестирование - 26
или в числах
Физика звезд - Инвестирование - 27
где Физика звезд - Инвестирование - 28 . Для центра Солнца имеем Физика звезд - Инвестирование - 29 , Физика звезд - Инвестирование - 30 г/см3(см. предыдущую задачу), так что Физика звезд - Инвестирование - 31 . Итак, даже при плотности в 150 г/см3вещество в центре Солнца из-за высокой температуры остается газом.

Дальнейшее придется принять на веру. Согласно расчетам моделей строения Солнца, соотношение Физика звезд - Инвестирование - 32 , справедливое для центра Солнца, приближенно выполняется и в большей части его недр. Поэтому повсюду в недрах Солнца, а не только в его центре, вещество является газом.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.5Вычислим энергию, выделяющуюся при синтезе ядра атома гелия из четырех протонов. По формуле Эйнштейна Физика звезд - Инвестирование - 34 имеем Физика звезд - Инвестирование - 35 , так как в ходе данной ядерной реакции (точнее, цепочки реакций синтеза Физика звезд - Инвестирование - 36 -частицы из четырех протонов) "исчезает" Физика звезд - Инвестирование - 35 (точнее, 0.7%) массы. Полная энергия покоя Солнца равна Физика звезд - Инвестирование - 38 . Если бы Солнце целиком состояло из водорода, то при полном его превращении в гелий выделилась бы энергия Физика звезд - Инвестирование - 39 . Время, на которое этой энергии хватило бы для поддержания светимости Солнца на ее нынешнем уровне, составляет Физика звезд - Инвестирование - 40 лет. Коэффициент 5/3 "несерьезен" -- Солнце не целиком состоит из водорода и т. д. В действительности за время своей жизни на главной последовательности Солнце успеет сжечь лишь примерно 10% своих запасов водорода. Таким образом, Солнцу отпущено примерно Физика звезд - Инвестирование - 41 лет "спокойной" жизни на главной последовательности, что вовсе неплохо!

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.6Будем считать, что Солнце испускает чернотельное излучение с Физика звезд - Инвестирование - 43 K. Средняя энергия, приходящаяся на один чернотельный фотон, равная Физика звезд - Инвестирование - 44 (см. задачу Физика звезд - Инвестирование - 1 ), составляет тогда Физика звезд - Инвестирование - 46 эВ. Поэтому число фотонов, излучаемых Солнцем за счет энергии, выделяющейся при синтезе одной Физика звезд - Инвестирование - 36 -частицы, равно Физика звезд - Инвестирование - 48 шт. Так как при синтезе Физика звезд - Инвестирование - 36 -частицы из четырех протонов два из них за счет Физика звезд - Инвестирование - 50 -распада превращаются в нейтроны, то при этом рождаются два нейтрино. В итоге число ежесекундно излучаемых Солнцем фотонов оказывается в Физика звезд - Инвестирование - 51 раз больше числа испускаемых им нейтрино.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.7Вещество, аккрецируемое Солнцем, при падении достигает у его поверхности второй космической скорости Физика звезд - Инвестирование - 53 км/с. Искомый темп аккреции Физика звезд - Инвестирование - 54 определим из условия равенства кинетической энергии выпадающего за 1 с вещества и светимости Солнца:
Физика звезд - Инвестирование - 55
откуда
Физика звезд - Инвестирование - 56

Как будет изменяться продолжительность года, т.е. период обращения Земли P при изменении массы Солнца? Из третьего закона Кеплера
Физика звезд - Инвестирование - 57
находим
Физика звезд - Инвестирование - 58
С другой стороны, должен сохраняться угловой момент Физика звезд - Инвестирование - 59 , так что
Физика звезд - Инвестирование - 60
Из этих двух соотношений находим, что
Физика звезд - Инвестирование - 61
откуда при Физика звезд - Инвестирование - 62 получаем, что Физика звезд - Инвестирование - 63 . Это соответствует уменьшению продолжительности года на Физика звезд - Инвестирование - 64 c в год, чего явно не происходит. Можно поэтому с уверенностью утверждать, что Солнце светит не за счет аккреции.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.8По значениям температур можно заключить, что речь идет о массивных звездах, светимость которых обеспечивается CN-циклом. Известно, что темп энерговыделения при реакциях CN-цикла примерно пропорционален Физика звезд - Инвестирование - 66 . Поэтому искомое отношение равно Физика звезд - Инвестирование - 67 . Не хватайтесь за калькулятор -- все можно подсчитать в уме, воспользовавшись замечательным пределом
Физика звезд - Инвестирование - 68
Действительно,
Физика звезд - Инвестирование - 69
При росте температуры всего на Физика звезд - Инвестирование - 70 темп энерговыделения возрастает более чем в 7 раз!

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.9Ответ очевиден: один год. При меньшем периоде центробежная сила разорвет звезду.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.10Приравнивая центробежную силу на экваторе пульсара Физика звезд - Инвестирование - 73 к силе тяжести Физика звезд - Инвестирование - 74 , получаем предельную угловую скорость вращения: Физика звезд - Инвестирование - 75 . Быстрее вращаться пульсар не может, так как тогда центробежная сила разорвет его. Предельный период вращения есть Физика звезд - Инвестирование - 76 . Плотность звезды с таким периодом вращения равна
Физика звезд - Инвестирование - 77
Это -- нижняя оценка плотности, при которой пульсар с периодом Физика звезд - Инвестирование - 78 с не будет еще разорван центробежной силой. Мы получили разумную оценку плотности нейтронных звезд. Она близка к ядерной: Физика звезд - Инвестирование - 79 г/см3 .

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.11Время схлопывания Солнца в точку -- это время свободного падения к центру Солнца тела, которое в начальный момент покоилось на его поверхности. Рассматривая движение такого тела, можно принять, что вся масса Солнца сосредоточена в центре (это допущение справедливо, если тело в процессе движения не обгоняет опадающие на центр слои, расположенные ниже; детальный анализ показывает, что это действительно так). Тогда время свободного падения равно половине периода P обращения тела по выродившейся в отрезок эллиптической орбите с большой полуосью Физика звезд - Инвестирование - 81 (и эксцентриситетом e=1). Этот период мы вычислим по третьему закону Кеплера (см. также задачи Физика звезд - Инвестирование - 1 и Физика звезд - Инвестирование - 1 ):
Физика звезд - Инвестирование - 84
откуда для времени схлопывания Солнца Физика звезд - Инвестирование - 85 (индекс G -- от gravitation) находим
Физика звезд - Инвестирование - 86
Это -- важное характерное время. При нарушениях механического равновесия заметные изменения должны происходить на временах Физика звезд - Инвестирование - 87 . Поскольку никаких существенных изменений в состоянии Солнца не происходит на гораздо больших временных интервалах -- это прямой наблюдательный факт, -- то можно с уверенностью утверждать, что Солнце находится в механическом (гидростатическом) равновесии.

Использованные выше рассуждения дают следующее выражение для времени схлопывания произвольного сферически-симметричного самогравитирующего облака массы M, первоначально имевшего радиус R:
Физика звезд - Инвестирование - 88
где Физика звезд - Инвестирование - 89 -- начальная средняя плотность облака. Подставив сюда Физика звезд - Инвестирование - 90 г/см3 , найдем, что время схлопывания межзвездного облака такой начальной плотности составляет Физика звезд - Инвестирование - 91 лет.

Физика звезд - Инвестирование - 1 12.12Проведем анализ размерностей фигурирующих в задаче величин (ср. задачу Физика звезд - Инвестирование - 1 ). У нас имеются следующие размерные параметры: масса "планеты" (или лучше сказать -- самогравитирующего тела) M, ее радиус R, размерная постоянная K, входящая в уравнение состояния Физика звезд - Инвестирование - 94 и, наконец, постоянная тяготения G. Пусть [Q] -- размерность величины Q. Тогда, с одной стороны, Физика звезд - Инвестирование - 95 , с другой же стороны ньютонова сила тяготения Физика звезд - Инвестирование - 96 , отнесенная к площади поверхности сферы радиуса R, также имеет размерность давления: Физика звезд - Инвестирование - 97 . Отношение двух фигурирующих здесь комбинаций определяющих размерных величин есть отвлеченное число. Обозначим его Физика звезд - Инвестирование - 98 , так что
Физика звезд - Инвестирование - 99
откуда
Физика звезд - Инвестирование - 100
Следует ожидать, что Физика звезд - Инвестирование - 36 -- число порядка единицы: так "всегда" бывает.

Из полученного сейчас выражения следует, что радиус самогравитирующей равновесной конфигурации, построенной из вещества с уравнением состояния Физика звезд - Инвестирование - 94 , однозначно определяется значением K. Замечательно, что масса M выпала. Отсюда можно заключить, что от добавления массы или от удаления с тела части его вещества радиус "планеты" меняться не будет. Оказывается поэтому, что если вещество имеет уравнение состояния Физика звезд - Инвестирование - 94 , то в один и тот же объем можно поместить любую массу. В действительности, конечно, масса все же будет ограничена сверху, так как при добавлении вещества гравитационная потенциальная яма будет становиться глубже. Скорость убегания
Физика звезд - Инвестирование - 104
будет расти Физика звезд - Инвестирование - 105 . Когда она станет приближаться к скорости света c, должны начать проявляться отклонения поля тяготения от ньютонова за счет эффектов общей теории относительности.

Полученный результат -- независимость R от M -- кажется настолько невероятным, что сначала верится в него с трудом. Подтвердим его более детальным анализом (менее подготовленные читатели могут его пропустить). Это позволит получить значение Физика звезд - Инвестирование - 36 . После этого поймем "на пальцах", в чем же суть дела, и обсудим некоторые важные для физики компактных звезд заключения общего характера, которые можно сделать на основе анализа нашей простой задачи.

Переходим к более аккуратному рассмотрению, которое позволит нам получить Физика звезд - Инвестирование - 36 . Уравнение механического равновесия самогравитирующей сферически-симметричной конфигурации (звезды, планеты) имет вид
Физика звезд - Инвестирование - 108
При Физика звезд - Инвестирование - 94 это дает
Физика звезд - Инвестирование - 110
Здесь Физика звезд - Инвестирование - 111 -- масса в сфере радиуса r, так что
Физика звезд - Инвестирование - 112
Поэтому из предыдущего уравнения следует, что
Физика звезд - Инвестирование - 113
Если ввести
Физика звезд - Инвестирование - 114
то это уравнение приводится к виду
Физика звезд - Инвестирование - 115
где
Физика звезд - Инвестирование - 116
Мы пришли к уравнению, по форме совпадающему с уравнением гармонических колебаний. (Для этого достаточно было догадаться ввести новую неизвестную y вместо Физика звезд - Инвестирование - 13 .) Общее его решение имеет вид
Физика звезд - Инвестирование - 118
где A и B -- произвольные постоянные. При r=0 значение Физика звезд - Инвестирование - 119 равно, очевидно, нулю, и поэтому B=0. Итак,
Физика звезд - Инвестирование - 120
На поверхности тела, при r=R, мы должны иметь Физика звезд - Инвестирование - 121 , откуда находим
Физика звезд - Инвестирование - 122
так что
Физика звезд - Инвестирование - 123

Таким образом, аккуратный расчет полностью подтвердил то, что дал простой анализ размерностей. Безразмерный параметр Физика звезд - Инвестирование - 36 действительно оказался близок к единице:
Физика звезд - Инвестирование - 125

Если вдуматься, то неизменность радиуса при добавлении или удалении вещества не есть что-то невероятное. При добавлении массы, казалось бы, радиус будет возрастать. В этом "казалось бы" все и заключено. На самом деле добавляемое вещество имеет вес и потому сдавливает нижележащие слои. Если вещество несжимаемо, радиус тела растет Физика звезд - Инвестирование - 126 . На этом простейшем случае и основана "интуиция" тех, кто не учитывает влияния сжимаемости на изменение радиуса при росте массы.

Если давление и плотность связаны степенной зависимостью
Физика звезд - Инвестирование - 127
то говорят, что мы имеем дело с политропой индекса n. Рассматривавшийся нами случай соответствует n=1; при n=0 имеем несжимаемое вещество. Чем меньше n, тем труднее сжать вещество, тем оно "жестче". Теперь ясно, что при всех n<1 добавление массы сопровождается увеличением радиуса, в случае же n=1 нижние слои "проседают" под действием веса добавляемого вещества ровно на столько, что это компенсирует увеличение радиуса за счет добавления вещества. Если n>1, то с увеличением массы радиус должен убывать!

Бывает ли так? Да. Таковы, в частности, белые карлики. Чем больше масса белого карлика, тем меньше его радиус. При массах Физика звезд - Инвестирование - 128 эта зависимость имеет вид Физика звезд - Инвестирование - 129 (что соответствует политропе индекса n=3/2), при больших массах, а потому и больших плотностях, поскольку радиус убывает с M, скорость убывания радиуса увеличивается. Объяснение того, почему это происходит, завело бы нас слишком далеко. Ограничимся констатацией этого факта. При приближении массы к так называемому пределу Чандрасекара Физика звезд - Инвестирование - 130 достигаются столь большие плотности, что вещество начинает радикально менять свои свойства: электроны начинают захватываться ядрами, превращая имеющиеся в них протоны в нейтроны. Идет процесс нейтронизации вещества. Белых карликов с массой, большей чандрасекаровского предела, в природе нет и быть не может -- зато могут быть и есть такие нейтронные звезды.

← Предыдущая страница | Следующая страница →